เรามี “ลบบีบวกลบสแควรูทบีกำลังสองลบสี่เอซีส่วนสองเอ” ไว้แก้สมการกำลังสอง แล้วถ้ากำลังมันมากกว่านั้นล่ะ?

ใครเคยท่องสูตรนี้กันบ้างฮะ

คุ้น ๆ ไหม ใครบอกว่าตัวเองไม่เคยท่องนี่ผมเถียงขาดใจเลยนะ เคยแหละฮะ ทุกคนที่เรียนผ่านมัธยมต้นมาต้องเคย เพียงแต่มันอาจจะนานมาแล้ว พอไม่ได้ใช้มันก็ลืมไปเป็นธรรมดา

ทบทวนความรู้กันหน่อย สูตรนี้ปรากฎตัวครั้งแรกในวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ชั้นมัธยม 3 เทอม 1 ในหัวข้อสมการกำลังสอง เป็นสูตรลัด เอาไว้สำหรับแก้สมการกำลัง 2 ในกรณีทั่วไปที่เขียนอยู่ในรูปของ

ถ้าจำกันได้ สมัยเรียนเราจะรักสูตรนี้เป็นพิเศษ เพราะปกติเวลาต้องแก้สมการกำลัง 2 เพื่อจะหาค่า $x$ ออกมา เราจะต้องแยกตัวประกอบ ซึ่งซับซ้อนและไม่ได้ง่ายเท่าไรนัก แต่ถ้าเราจำสูตรนี้ได้ เราก็แค่แทนค่าตัวแปรลงไปแล้วก็เสร็จเลย ได้คำตอบ

ในการศึกษาระดับที่สูงขึ้น เราพบว่าสมการหน้าตาแบบนี้นั้นไปโผล่อยู่ในวิชาต่าง ๆ เยอะแยะไปหมด ไม่ว่าจะเป็นสมการการแกว่งของลูกตุ้มในวิชาฟิสิกส์ แบบจำลองการเจริญเพิ่มของประชากรในวิชาชีววิทยา หรือการคำนวณหากำไรจากการขายสินค้าในวิชาเศรษฐศาสตร์ ดังนั้นการที่เรามีสูตรประเภทที่แทนค่าปุ๊บแก้สมการได้ปั๊บเลยแบบนี้นั้นก็ถือเป็นเรื่องราวดี ๆ เรื่องหนึ่ง

ทีนี้คำถามก็คือ ถ้าเรามีสูตรสำหรับแก้สมการกำลัง 2 ที่ดีขนาดนี้ไว้ใช้ แล้วถ้าสมการเรากำลังมากกว่า 2 ล่ะ เราจะมีสูตรไว้แก้สมการกำลัง 3 กำลัง 4 หรือกำลังมากกว่านั้นรึเปล่า ทำไมไม่เห็นคุ้นว่ามีครูคนไหนเคยสอนเลย

คำตอบคือ มีฮะ

สำหรับสมการกำลัง 3 ซึ่งอยู่ในรูป 

คุณ Cardano นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาเลียนได้เผยแพร่สูตรสำเร็จสำหรับแก้เอาไว้เมื่อช่วงปี 1500 ว่า

และสำหรับกำลัง 4 ในรูป 

คุณ Ferrari ซึ่งเป็นชาวอิตาเลียนเช่นกันก็ได้คิดสูตรไว้แก้แล้วในเวลาไล่เลี่ยกัน นั่นคือ

โอเค เข้าใจกันแล้วรึยังว่าทำไมไม่เคยมีครูคนไหนสอนสูตรพวกนี้เลย ก็เพราะว่ามันอลังการงานสร้าง ยุบยับยั้วเยี้ยอย่างงี้ไง ก็เลยไม่มีครูคนไหนสอน แต่ก็ไม่ใช่ว่าสูตรพวกนี้ไม่มีประโยชน์เลยนะ เพราะเวลาทำงานจริง ๆ เราใช้คอมพิวเตอร์ได้ เพียงป้อนสูตรนี้เข้าไป กด enter ทีเดียวก็ได้คำตอบออกมาเลย

พอถึงตรงนี้ คำถามก็คือ แล้วสำหรับสมการกำลัง 5 ล่ะ ดูจากสองสูตรที่ผ่านมา สูตรสำหรับแก้สมการกำลัง 5 ก็น่าจะเป็นอะไรสักอย่างที่ใหญ่โตโอ่อ่ากว่านี้ไปอีกแน่ ๆ เลย ปัญหานี้ดึงดูดนักคณิตศาสตร์จำนวนมากให้เข้ามาพยายามหาคำตอบ แต่ก็ล้วนล้มเหลวกันไปทั้งหมด

เวลาก็ผ่านล่วงเลยไป จนกระทั่งเมื่อปี 1824 คุณ Niels Henrik Abel ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์ ก็ออกมาบอกว่า ทุกคนต้องหยุดหาได้แล้ว เพราะมันไม่สูตรแบบนั้นอยู่ในโลกหรอก! ตอนนั้นเขาได้แสดงบทพิสูจน์ว่ามันไม่มีสูตรแบบนั้นสำหรับสมการตั้งแต่กำลัง 5 ขึ้นไปทั้งหมดเลย ซึ่งทฤษฏีของเค้าต่อมาถูกเรียกว่าทฤษฏีบทความเป็นไปไม่ได้ของอาเบล หรือ Abel's Impossibility Theorem 

ตรงนี้ต้องอธิบายให้ชัดก่อนว่า การที่คุณ Abel บอกว่าไม่มีสูตรสำหรับแก้สมการกำลัง 5 ขึ้นไป ไม่ได้แปลว่ามันไม่มีคำตอบนะ คำตอบน่ะมันมี ยังไงมันก็มี ทฤษฏีบทหลักมูลของพีชคณิตหรือ Fundamental Theorem of Algebra บอกเราว่าไม่ว่าจะสมการกำลังอะไร ยังไงมันก็จะมีคำตอบ เพียงแต่ Abel's Impossibility Theorem บอกเราว่า มันไม่มีสูตรสำเร็จที่แทนปุ๊บออกปั๊บเลยเหมือนกรณีกำลัง 2-4 เฉย ๆ ไม่มีที่แปลว่าไม่มีจริง ๆ ไม่มีแบบที่ผ่านไปอีกแสนล้านปีก็จะไม่มีใครค้นพบขึ้นมาได้ เพราะว่ามันถูกพิสูจน์แล้วว่าไม่มี

ทีนี้พอคุณ Abel บอกว่าไม่มีสูตรสำหรับกรณีทั่วไปนะ มันก็อาจจะฟังดูดับฝันของหลาย ๆ คนไปสักหน่อย แต่ความจริงก็คือตรงกันข้ามเลย เพราะการพิสูจน์ได้ว่าไม่มีสูตรสำหรับแก้สมการกำลัง 5 ขึ้นไปในกรณีทั่วไปแล้วนั้น นำไปสู่คำถามที่ตามมาว่า แล้วในกรณีไหนบ้างที่มี กรณีไหนบ้างที่ไม่มี ซึ่งคนที่มาให้คำตอบนี้แบบช้า ๆ ชัด ๆ เลยก็คือคุณ Évariste Galois นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส

แน่นอนว่าคำตอบของคุณ Galois นั้นเข้าใจไม่ง่ายเลยสักนิด และเราจะไม่เอามาพูดกันตรงนี้เด็ดขาด แต่ถ้าจะให้อธิบายว่ายากแค่ไหน ก็ให้นึกเอาเองว่า คำตอบของคุณ Galois นั้นได้สร้างคณิตศาสตร์แขนงใหม่ที่เรียกว่าพีชคณิตนามธรรม หรือ Abstract Algebra ขึ้นมาทั้งแขนง ซึ่งเจ้า Abstract Algebra นี้นั้นเป็นหนึ่งในวิชาสุดหินที่นักศึกษาเอกคณิตศาสตร์ทุกคนต้องเรียน และกว่าจะเรียนวิชานี้ไปจนถึงจุดที่สามารถเข้าใจคำตอบของ Galois ได้นั้น ก็ต้องเรียนต่อกันไปถึงนู่นแหนะ Abstract Algebra ตัวของปริญญาโทเลย

ดังนั้นถ้าเราเชื่อว่าพระเจ้าเป็นผู้สร้างโลกและกำหนดกฎเกณฑ์ต่าง ๆ ในจักรวาลนี้ขึ้นมา มันก็น่าสนใจว่าตอนนั้นพระเจ้าคิดอะไรอยู่กันแน่ ทำไมพระเจ้าถึงเลือกที่จะให้มีสูตรแก้สมการถึงแค่กำลัง 4 เท่านั้น ทำไมต้อง 4 ทำไมไม่มากหรือน้อยกว่านั้น หรือจริง ๆ แล้วพระเจ้าแค่ต้องการบอกใบ้พวกเรา เพื่อพาให้มนุษย์มารู้จักกับเจ้าวิชา Abstract Algebra ซึ่งทรงพลังมากกว่าก็เท่านั้นเอง เรื่องนี้ก็คงไม่มีใครบอกเราได้

แหล่งอ้างอิง
https://people.math.harvard.edu/~landesman/assets/solving-the-cubic-and-quartic.pdf
https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/cubic.pdf
https://websites.math.leidenuniv.nl/edixhoven/talks/2013/indonesia/yogya/workshop.pdf