Why Abstraction? #1 - คณิตศาสตร์นั้นว่าด้วยเรื่องอะไร
คณิตศาสตร์นั้นว่าด้วยเรื่องอะไร
ในฐานะคนที่หลงใหลในคณิตศาสตร์คนหนึ่ง ผมคิดว่ามันสำคัญที่ผมจะต้องตอบคำถามนี้ให้ได้ และถึงแม้ว่าการเปิด Cambridge Dictionary น่าจะไม่ใช่ทางเลือกที่ดีที่สุดในการนิยามศาสตร์แขนงนี้ แต่ก็ไม่เสียหายที่จะลองดูสักหน่อย
Mathematics (n.) the study of numbers, shapes, and space using reason and usually a special system of symbols and rules for organizing them.
(การศึกษาจำนวน รูปร่าง และปริภูมิ โดยใช้เหตุผลและมักใช้ระบบสัญลักษณ์และกฎเฉพาะในการจัดระเบียบ)
ฟังดูเป็นการให้ความหมายที่ไม่เลวเลย เพราะสำหรับคนทั่วไป คณิตศาสตร์ก็คือเรื่องของ จำนวน รูปร่าง และปริภูมิ จริง ๆ แต่ถ้าลองคิดให้ลึกขึ้น เราจะพบว่ายังมีหัวข้อในคณิตศาสตร์อีกมากมายที่ไม่ได้อยู่ในคำจำกัดความนี้ เช่น ความน่าจะเป็น ทฤษฎีกราฟ ตรรกศาสตร์ ทฤษฎีเซต ทฤษฎีเกม สถิติ และอีกมากมายที่เราถือกันว่าเป็นคณิตศาสตร์ แต่กลับดูเหมือนไม่ได้ถูกรวมอยู่ในนิยามดังกล่าว
ผมเลยลองค้นหานิยามจากแหล่งอื่น และพบว่ามีคนพยายามอธิบายคณิตศาสตร์ในหลายรูปแบบ แต่มีการให้ความหมายหนึ่งที่ผมชอบมากที่สุด ว่า
คณิตศาสตร์คือศาสตร์แห่งรูปแบบ (the science of patterns)
แนวคิดนี้มีรากฐานจาก G. H. Hardy ที่เคยกล่าวไว้ว่า
"A mathematician, like a painter or a poet, is a maker of patterns."
(นักคณิตศาสตร์ก็เหมือนจิตรกรหรือกวี—พวกเขาคือผู้สร้างรูปแบบ)
ต่อมา Lynne Steen ได้อธิบายคณิตศาสตร์ว่าเป็น "Science of Patterns" และ Keith Devlin ก็ใช้แนวคิดนี้ตั้งเป็นชื่อหนังสือของเขาว่า "Mathematics: The Science of Patterns"
พอพูดว่า รูปแบบ ในคณิตศาสตร์ หลายคนอาจนึกถึงพวกโจทย์ลำดับตัวเลขอย่าง 1, 3, 5, 7, ... แล้วอะไรต่อ ซึ่งก็ไม่ผิด นี่คือตัวอย่างหนึ่งของรูปแบบ เพราะมันคือการพยายามหากฎที่เชื่อมโยงตัวเลขเข้าด้วยกัน แต่ความหมายของคำว่ารูปแบบในคณิตศาสตร์นั้นกว้างกว่ามาก
ผมอยากให้ถอยกลับมามองตัวอย่างง่าย ๆ ก่อน เราพบว่า แอปเปิ้ล 1 ลูกนับรวมกับแอปเปิ้ล 1 ลูกได้เป็นแอปเปิ้ล 2 ลูก พบว่าหมา 1 ตัวนับรวมกับหมา 1 ตัวได้เป็นหมา 2 ตัว และยังพบอีกว่าน้ำ 1 ลิตรเทรวมกับน้ำ 1 ลิตรได้ออกมาเป็นน้ำ 2 ลิตร
คุณเห็นอะไรไหม นี่คือตัวอย่างของรูปแบบที่เกิดซ้ำ ๆ จนเราสังเกตได้ ซึ่งก็คือ
1 + 1 = 2
หลายคนอาจไม่เคยคิดว่าสิ่งนี้คือรูปแบบ เพราะมันดูพื้นฐานมาก แต่แท้จริงแล้ว รูปแบบไม่จำเป็นต้องซับซ้อนเสมอไป ขอแค่เป็นสิ่งที่เกิดซ้ำจนเราจับสังเกตได้ก็เพียงพอ เพราะถ้าลองจินตนาการว่าถ้าสิ่งที่เราพบคือ แอปเปิ้ล 1 ลูกนับรวมกับแอปเปิ้ล 1 ลูกได้เป็นแอปเปิ้ล 2 ลูก หมา 1 ตัวนับรวมกับหมา 1 ตัวได้เป็นหมา 3 ตัว แต่น้ำ 1 ลิตรเทรวมกับน้ำ 1 ลิตรได้ออกมาเป็นน้ำ 5 ลิตร เราก็คงไม่สามารถสรุปเป็นรูปแบบ 1 + 1 = 2 จริงไหมฮะ
แต่พูดกันด้วยใจเป็นธรรม ที่จริงแล้ว ไม่ใช่แค่นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษารูปแบบของสิ่งต่าง ๆ นักฟิสิกส์ศึกษารูปแบบของการเคลื่อนที่และพลังงาน นักเคมีศึกษารูปแบบของสสารและปฏิกิริยาเคมี นักเศรษฐศาสตร์ศึกษารูปแบบของพฤติกรรมทางเศรษฐกิจและการตัดสินใจของมนุษย์ นักภาษาศาสตร์ศึกษารูปแบบของภาษา ถ้าอย่างนั้นนักคณิตศาสตร์ต่างจากคนที่ศึกษาศาสตร์อื่นอย่างไร
สิ่งที่ทำให้นักคณิตศาสตร์แตกต่างก็คือ งานส่วนใหญ่ของนักคณิตศาสตร์ไม่ใช่การศึกษารูปแบบของของในธรรมชาติ แต่คือการศึกษา “รูปแบบของรูปแบบ” อีกทีมากกว่า
นักวิทยาศาสตร์เอาความรู้เรื่องการบวกไปใช้บวกมวล บวกน้ำหนัก บวกปริมาตร นักเศรษฐศาสตร์เอาความรู้เรื่องการบวกไปบวกอะไรที่เกี่ยวกับองค์ประกอบในระบบเศรษฐกิจ นักอื่น ๆ ก็เช่นกัน ต่างจากนักคณิตศาสตร์ที่ไม่ได้เอาการบวกซึ่งเป็นรูปแบบของการรวมกันของสิ่งของในธรรมชาติไปใช้ศึกษารูปแบบของอย่างอื่น แต่กลับศึกษาเกี่ยวกับตัวการบวกเสียเอง ว่ามันมีพฤติกรรมอย่างไรบ้าง เช่น เราพบว่า 1 + 2 = 2 + 1 ไม่เพียงเท่านี้ เราพบว่า 3 + 4 = 4 + 3 และ 19 + 3 = 3 + 19 สิ่งเหล่านี้ทำให้เราสรุปเป็นกฎทั่วไปว่า สำหรับทุกจำนวนเต็ม x และ y จะได้ว่า x + y = y + x นี่คือตัวอย่างของ รูปแบบของรูปแบบ ที่ผมพูดถึง เป็นสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ให้ความสนใจ
นักคณิตศาสตร์พยายามมองหารูปแบบในสิ่งต่าง ๆ แล้วศึกษาว่ารูปแบบเหล่านั้นมีรูปแบบอย่างไรต่อไป ซึ่งสิ่งที่ศึกษาอาจเป็น รูปแบบของจำนวน รูปแบบของรูปร่าง รูปแบบของปริภูมิ รูปแบบของเซต ฟังก์ชัน ตัวดำเนินการ หรือแม้แต่รูปแบบที่เป็นนามธรรมสุด ๆ อย่างรูปแบบของการให้เหตุผล
ทฤษฎีบทของพีทาโกรัสก็เป็นรูปแบบหนึ่งที่มนุษย์ค้นพบเกี่ยวกับความยาวด้านในสามเหลี่ยมมุมฉาก มันเป็นจริงอย่างนี้เสมอ ขอแค่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่อย่างที่ผมบอกว่านักคณิตศาสตร์ไม่เพียงแต่มองหารูปแบบของสิ่งต่าง ๆ แต่ยังศึกษาว่า รูปแบบเหล่านั้นมีรูปแบบอย่างไรต่อไปอีก เมื่อเรารู้รูปแบบเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากผ่านทฤษฎีบทของพีทาโกรัสแล้ว แทนที่จะหยุดแค่นั้นหรือเอารูปแบบนี้ไปใช้ทำอะไรในโลกความเป็นจริง นักคณิตศาสตร์กลับสนใจที่จะหารูปแบบที่ซ้อนอยู่ลึกลงไปอีก ถ้าเราพิจารณาเฉพาะสามเหลี่ยมมุมฉากที่ความยาวด้านทั้งสามเป็นจำนวนเต็มบวก เช่น
3 4 และ 5
5 12 และ 13
7 24 และ 25 และอีกมากมาย
เราจะพบว่าเลขเหล่านี้ไม่ได้เกิดขึ้นแบบสุ่ม ๆ แต่มีรูปแบบที่แน่นอน นักคณิตศาสตร์เลยศึกษาต่อไปจนพบว่า ถ้าเรามีจำนวนเต็มบวกสองจำนวน m และ n โดยที่ m > n และให้
a = m2 - n2
b = 2mn
c = m2 + n2
จะทำให้ a b และ c ที่ได้เป็นชุดของความยาวด้านสามเหลี่ยมมุมฉากเสมอ นี่คือตัวอย่างของการค้นหารูปแบบของรูปแบบอีกที
ไม่ว่าคณิตศาสตร์จะแตกแขนงไปในทิศทางไหน มันก็ล้วนเกี่ยวข้องกับการค้นหารูปแบบเสมอ นักคณิตศาสตร์ศึกษาไม่เพียงแค่สิ่งที่เกิดขึ้นซ้ำ ๆ แต่ยังศึกษาว่ารูปแบบเหล่านั้นมีโครงสร้างอย่างไร และมีความสัมพันธ์กันอย่างไร ซึ่งบางครั้งรูปแบบเหล่านี้นำไปสู่การค้นพบที่มีผลกระทบอย่างมหาศาล เช่น การศึกษาเกี่ยวกับรูปแบบของจำนวนเฉพาะ นำไปสู่การพัฒนาอัลกอริทึมเข้ารหัสที่เราใช้กันในระบบความปลอดภัยดิจิทัลทุกวันนี้ หรือการค้นพบรูปแบบของเซตและฟังก์ชันทำให้เกิดทฤษฎีที่รองรับปัญญาประดิษฐ์และการวิเคราะห์ข้อมูล
คณิตศาสตร์จึงไม่ใช่แค่ศาสตร์ที่ว่าด้วยตัวเลขหรือรูปร่างอย่างที่หลายคนเข้าใจ แต่เป็นศาสตร์แห่งรูปแบบ เป็นเครื่องมือที่ช่วยให้เราสามารถเข้าใจ จัดระเบียบ และพยากรณ์ปรากฏการณ์ต่าง ๆ ในโลก และแม้ว่านักฟิสิกส์ นักเศรษฐศาสตร์ หรือวิศวกร จะใช้คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือในการศึกษาสิ่งที่พวกเขาสนใจ แต่นักคณิตศาสตร์คือผู้ที่ศึกษารูปแบบของรูปแบบพวกนั้นให้ลึกลงไป
ในมุมมองของผม นี่แหละคือคำตอบของคำถามที่ว่า คณิตศาสตร์คืออะไรกันแน่
บทความนี้เป็นตอนแรกของ Why Abstraction? ทำไมต้องทำให้นามธรรม ซีรีส์บทความ 10 ตอน ที่จะค่อย ๆ พาคุณเข้าสู่โลกอันแสนนามธรรมของคณิตศาสตร์
ผู้ที่สนใจสามารถสมัครสมาชิกเพื่อตอนที่สอง การทำให้เป็นนามธรรม: เครื่องมือสำคัญของนักคณิตศาสตร์ ได้ที่ https://mathasitis.ghost.io/abstraction-02/
และอ่านตอนถัด ๆ ไปได้ทุกวันจันทร์