ผมกำลังโกหก

เผื่อใครไม่ทันได้เห็น เมื่อวานเป็นวัน April Fool's Day และผมก็โพสต์ในเพจสั้น ๆ แค่ว่า

ผมกำลังโกหก

ประโยคนี้ดูเหมือนไม่มีอะไร แต่จริง ๆ แล้วมันเป็นหนึ่งในปริศนาทางตรรกศาสตร์ที่ลึกซึ้งที่สุดที่มนุษย์เคยเจอ บทความนี้จะมาอธิบายว่าทำไมข้อความสั้น ๆ แค่นี้ถึงเป็นประเด็นสำคัญในทางคณิตศาสตร์และตรรกศาสตร์ได้

ผมกำลังโกหก หรือที่เรียกกันว่า Liar Paradox เป็นหนึ่งใน Paradox ที่รู้จักกันดีในประวัติศาสตร์ทางปรัชญาและตรรกศาสตร์

คำว่า Paradox หมายถึงสถานการณ์ที่ดูเหมือนขัดแย้งกันเอง หรือเป็นข้อสรุปที่ขัดกับสามัญสำนึก แม้ว่าข้อความจะดูเหมือนถูกต้องตามตรรกะก็ตาม ปริศนาเหล่านี้ทำให้เราต้องพิจารณาถึงโครงสร้างของภาษาหรือกฎเกณฑ์ทางตรรกะที่เราใช้ในการให้เหตุผล

แล้วทำไมประโยค "ผมกำลังโกหก" ถึงเป็น Paradox

ลองคิดตามผมนะฮะ ถ้าประโยคนี้เป็นจริง แปลว่าผมกำลังโกหก ซึ่งหมายความว่าประโยคนี้ต้องเป็นเท็จ แต่ถ้าประโยคนี้เป็นเท็จ นั่นหมายความว่าผมไม่ได้โกหก ซึ่งทำให้ประโยคนี้เป็นจริง วนเวียนแบบนี้ไม่มีที่สิ้นสุด สิ่งนี้เรียกว่าการอ้างถึงตัวเอง ซึ่งเป็นวิธีการสร้าง Paradox ง่าย ๆ แบบหนึ่ง

Liar Paradox มีประวัติยาวนานย้อนหลังไปถึงยุคกรีกโบราณ โดยมีเวอร์ชันที่เป็นที่รู้จักมากที่สุดคือ Epimenides Paradox ที่บอกว่า

ชาวเกาะครีตทุกคนเป็นคนโกหก

ปัญหาคือคุณ Epimenides ซึ่งเป็นคนพูดประโยคนี้ดันเป็นหนึ่งในชาวเกาะครีตเสียเองกลายเป็นว่าถ้าประโยคนี้เป็นจริง มันต้องเป็นเท็จ และถ้ามันเป็นเท็จ มันต้องเป็นจริง

นอกจาก Liar Paradox ยังมี Paradox อื่น ๆ ที่โด่งดัง เช่น Paradox ของช่างตัดผมที่บอกว่า

มีช่างตัดผมคนหนึ่งที่โกนหนวดให้ทุกคนที่ไม่ได้โกนหนวดให้ตัวเอง แล้วใครโกนหนวดให้ช่างตัดผม

ถ้าช่างตัดผมโกนหนวดให้ตัวเอง เขาก็ไม่ควรโกนหนวดให้ตัวเอง และถ้าเขาไม่โกนหนวดให้ตัวเอง เขาก็ควรจะโกนหนวดให้ตัวเองถูกไหมฮะ

Paradox ของช่างตัดผมมักถูกเข้าใจผิดว่าถูกเสนอโดยคุณ Bertrand Russell ซึ่งตัวเขาเองปฏิเสธว่าไม่ใช่ แต่ตัวคุณ Bertrand Russell เองก็ได้เสนอ Paradox ที่สำคัญอันหนึ่งในคณิตศาสตร์เช่นกัน

ย้อนกลับไปสมัยมัธยม 4 ตอนเราเรียนเรื่องเซตครั้งแรก ครูมักจะพูดคร่าว ๆ ว่า เซตนั้นคือกลุ่มของของอะไรสักอย่าง แล้วก็ข้ามไปยกตัวอย่างเลย ทั้งที่สิ่งอื่น ๆ ในวิชาคณิตศาสตร์นั้นมีบทนิยามที่แสนจะรัดกุมไปหมด แต่ตอนครูนิยามเซตกลับพูดแค่คร่าว ๆ เท่านั้น

คำตอบก็คือเพราะจริง ๆ แล้วเซตนั้นไม่ใช่กลุ่มของของอะไรก็ได้อย่างที่เราเข้าใจ คุณ Bertrand Russell บอกว่า ถ้าเซตคือกลุ่มของของอะไรก็ได้จริง ดังนั้น

เรานิยามให้ R เป็นเซตของเซตทั้งหมดที่ไม่ได้เป็นสมาชิกของตัวเอง

คำถามคือ R เป็นสมาชิกของตัวเองรึเปล่า ถ้า R เป็นสมาชิกของตัวเอง แปลว่ามันไม่ควรเป็นสมาชิกของตัวเอง และถ้ามันไม่เป็นสมาชิกของตัวเอง แปลว่ามันควรเป็นสมาชิกของตัวเอง ข้อขัดแย้งนี้ถูกเรียกว่า Russell’s Paradox ซึ่งทำให้นักคณิตศาสตร์ในยุคนั้นได้รู้ว่าความเข้าใจเกี่ยวกับเซตในอดีตนั้นยังมีปัญหาและต้องได้รับการแก้ไขให้รัดกุมขึ้น เซตไม่ใช่แค่กลุ่มของอะไรก็ได้ แต่มันต้องการเงื่อนไขบางอย่าง ที่ทำให้เซตเป็นเซต

Liar Paradox และ Paradox อื่น ๆ อาจจะฟังดูเป็นแค่ปริศนาที่ไว้ถามเล่นกันสนุก ๆ แต่ถ้าคิดกับมันให้ดี มันจะทำให้เราได้ค้นพบข้อจำกัดของตรรกศาสตร์ และโครงสร้างพื้นฐานของคณิตศาสตร์ ที่เราอาจจะไม่เคยมองเห็นมันมาก่อน

และเช่นเดิม ใครที่อยากสนับสนุนเพจเว็บไซต์ของเรา ให้ผลิตคอนเทนต์คณิตศาสตร์แบบนี้ต่อไป ก็สามารถสมัครเป็นสมาชิกรายเดือนได้โดยกดปุ่ม 'สมัครสมาชิก' ได้เลยนะฮะ