คณิตศาสตร์ผิด ๆ ที่ทำคนบริสุทธิ์ต้องติดคุก
แม้มนุษย์จะมีสามัญสำนึกเกี่ยวกับจำนวนและคณิตศาสตร์กันอยู่ในตัวอยู่แล้ว แต่หลายครั้งที่สามัญสำนึกพวกนั้นก็ผิด โดยเฉพาะเมื่อเกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็น นั่นจึงเป็นเหตุผลที่เรามี paradox เกี่ยวกับความน่าจะเป็นอยู่หลายอัน ไม่ว่าจะเป็น Birthday Paradox, Simpson paradox หรือ Monty hall problem ซึ่งสิ่งที่เราจะคุยกันในบทความนี้ก็เช่นกัน โดยเราจะเริ่มจากปัญหาง่าย ๆ ที่ว่า
“โอกาสถูกหวยเลขท้ายสองตัวเป็นเท่าไร”
คำถามนี้ไม่ยากเลย ถ้าเรามองว่าหวยเลขท้ายสองตัวมันมีเลข 00 ถึง 99 ซึ่งคือ 100 เลข แต่ละงวดมีเลขที่จะถูกเพียงหนึ่งเลข ดังนั้นโอกาสที่เราจะถูกหวยจึงเท่ากับ 1/100 หรือ 0.01
ถ้าเรามองอีกแบบ โดยมองแต่ละหลักแยกกัน โอกาสที่เราจะถูกเลขหลักสุดท้ายคือ 1/10 และโอกาสที่จะถูกเลขหลักรองสุดท้ายคือ 1/10 ดังนั้นโอกาสที่เราจะถูกเลขทั้งสองหลักที่ว่าก็จะเท่ากับ 1/10 คูณ 1/10 ซึ่งเท่ากับ 1/100
สิ่งนี้เรียกว่ากฎการคูณ
ลองอีกตัวอย่าง เอาที่จับต้องได้มากกว่าเดิมหน่อย สมมติว่าในโลกนี้มีคนเลือดกรุ๊ปบีอยู่ 15% แปลว่าโอกาสที่เราจะได้แฟนคนแรกเป็นชาวเลือดกรุ๊ปบีจึงเท่ากับ 0.15 ทีนี้ เราเลิกกับแฟนคนแรก และมีแฟนใหม่ โอกาสที่คนที่สองจะมีเลือดกรุ๊ปบีก็เท่ากับ 0.15 อีก ดังนั้นโดยกฎการคูณ โอกาสที่ใครสักคนจะมีแฟนที่เลือดกรุ๊ปบีต่อด้วยเลือดกรุ๊ปบีอีกคนจึงเท่ากับ 0.15 คูณ 0.15 ได้ 0.0225 หรือ 2.25% นั่นเอง
กฎผลคูณช่วยให้เราสามารถใช้หาความน่าจะเป็นที่จะเกิดสองเหตุการณ์ ด้วยการเอาความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์มาคูณกัน สิ่งนี้ฟังดูเหมือนจะใช้ได้ดีในทุกกรณี แต่ความจริงแล้วไม่ได้เป็นแบบนั้น
ในปี 1996 คุณ Sally Clark ทนายความชาวอังกฤษ สูญเสียลูกคนแรกของเธอภายในสามสัปดาห์หลังจากการคลอด และในปี 1999 ลูกชายคนที่สองของเธอเสียชีวิตหลังเกิดได้เพียงแปดสัปดาห์ โดยทั้งคู่เสียชีวิตจากกลุ่มอาการเสียชีวิตเฉียบพลันในเด็กทารก (SIDS) ถึงแม้จะไม่มีหลักฐานว่า Sally เป็นผู้กระทำ แต่เธอกลับถูกกล่าวหาว่าฆ่าลูกของเธอเอง
ในชั้นศาล ศาสตราจารย์ด้านกุมารเวชศาสตร์ได้ให้การว่า โอกาสที่ทารกสุ่มหนึ่งคนที่มาจากครอบครัวที่มีฐานะดี ไม่สูบบุหรี่ และแม่อายุมากกว่า 26 ปีจะเสียชีวิตจากโรค SIDS คือ 1 ใน 8,543 ดังนั้นโอกาสที่ทารกสองคนจากครอบครัวเดียวกันจะเสียชีวิตจากโรคนี้ทั้งคู่ก็คือ 1 ใน 8,543 คูณกับ 1 ใน 8,543 ซึ่งเท่ากับ 1 ใน 73 ล้าน
คณะลูกขุนได้รับข้อมูลนี้และตัดสินลงโทษ Sally โดยหนึ่งในคณะลูกขุนกล่าวว่า "ไม่ว่าคุณจะพูดอะไรเกี่ยวกับ Sally Clark คุณไม่สามารถหลีกเลี่ยงตัวเลข 1 ใน 73 ล้านได้"
ทุกอย่างดูเหมือนจะไม่มีปัญหา เพราะตัวเลข 1 ใน 73 ล้านที่คำนวณมาได้จากกฎการคูณนั้นก็ดูจะน้อยจนไม่น่าเชื่อว่าจะเกิดได้จริง ๆ แต่เปล่าเลย สิ่งนี้ไม่ถูกต้องตามหลักคณิตศาสตร์เลยสักนิด เพราะความจริงแล้วกฎการคูณไม่สามารถนำมาประยุกต์ใช้ในกรณีนี้ได้ เพราะความจริงแล้ว เงื่อนไขสำคัญที่ระบุไว้ในกฎผลคูณก็คือ เราจะเอาความน่าจะเป็นของสองเหตุการณ์มาคูณกันได้เมื่อสองเหตุการณ์ที่ว่านั้นเป็นอิสระต่อกันเท่านั้น
ความอิสระของเหตุการณ์เป็นแนวคิดที่สำคัญเกี่ยวกับความน่าจะเป็น เราจะพูดว่าสองเหตุการณ์นั้นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อผลของเหตุการณ์หนึ่งไม่ได้ไปมีผลต่อความน่าจะเป็นที่จะเกิดอีกเหตุการณ์หนึ่ง เช่นการออกหวย ไม่ว่าเลขหลักสุดท้ายจะออกอะไร อีกหลักหนึ่งก็จะถูกสุ่มใหม่โดยไม่สนใจผลที่ออกในหลักสุดท้าย หรือในกรณีกรุ๊ปเลือด ในชีวิตจริงคงไม่มีใครเลือกคนที่จะมาเป็นแฟนจากกรุ๊ปเลือด ดังนั้นการที่แฟนเราแต่ละคนจะมีกรุ๊ปเลือดอะไรนั้นจึงเป็นเหตุการณ์ที่อิสระต่อกัน เพราะถ้าเราเปลี่ยนจากกรุ๊ปเลือดไปเป็นอย่างอื่นที่ส่งผลต่อกัน อย่างเช่นถ้าเรามีแฟนที่อยู่ไกลกันจนเป็นเหตุให้ต้องเลิกรา ก็เป็นไปได้ว่าแฟนคนถัดมาเราจะเลือกคนที่อยู่ใกล้ ๆ ถ้าเป็นอย่างนี้ก็แปลว่าสองเหตุการณ์นี้ไม่อิสระต่อกันแล้ว
ทีนี้กลับมาที่เรื่องคุณ Sally Clark การใช้กฎการคูณเพื่อคำนวณความน่าจะเป็นที่ลูกของเธอสองคนจะเป็นโรค SIDS นั้นไม่ถูกต้องอย่างยิ่ง เพราะเหตุการณ์ทั้งสองนั้นไม่ได้อิสระจากกันแต่อย่างใด ในความเป็นจริงแล้วความน่าจะเป็นของการเสียชีวิตของเด็กคนที่สองนั้นมีแนวโน้มสูงขึ้นหากเด็กคนแรกเสียชีวิตจากโรค SIDS มาก่อน คำตัดสินนี้ถูกประณามจากสมาคมสถิติราชสมาคมอังกฤษว่าไม่มีฐานทางสถิติที่ถูกต้อง จนในที่สุดคุณ Sally Clark ก็ได้รับการปล่อยตัวจากคุกหลังจากอยู่ในเรือนจำถึง 3 ปี
อีกหนึ่งกรณีในช่วงเวลาไล่เลี่ยกัน คุณ Ray Krone ถูกตัดสินว่าได้ลงมือฆาตกรรมบาร์เทนเดอร์คนหนึ่งในปี 1992 โดยหลักฐานหลักที่ใช้ในคดีคือรอยกัดบนร่างของเหยื่อ นักวิทยาศาสตร์ได้ให้การว่ารอยกัดนั้นตรงกับฟันของคุณ Krone และสามารถเป็นรอยกัดของเขาเท่านั้น โดยให้เหตุผลว่าฟันของมนุษย์แต่ละคนนั้นเป็นเอกลักษณ์ และฟันของคุณ Krone นั้นก็ตรงกับของฆาตกรรมทุกซี่เลย ซึ่งแม้ว่ามันอาจจะพอเป็นไปได้ที่ฟันบางซี่ของคุณ Krone อาจจะไปบังเอิญตรงกับของฆาตกร แต่การที่มันตรงทุกซี่แบบนี้ จากการคำนวณด้วยกฎการคูณนั้นแทบจะเป็นไปไม่ได้เลย
นี่เป็นอีกครั้งที่กฎผลคูณถูกเอามาใช้ผิด ๆ เพราะอย่าลืมว่าฟันแต่ละซี่ของคนเรานั้นไม่ได้มีตำแหน่งอิสระต่อกัน ตำแหน่งของฟันซี่แรกนั้นส่มีความสัมพันธ์กับฟันซี่ที่สอง ไล่ไปเรื่อย ๆ ทั้งปาก ดังนั้นจริง ๆ แล้วการที่ใครสักคนจะมีฟันทั้งชุดเหมือนกันเด้ะนั้นไม่ใช่เรื่องที่เกิดยากขนาดที่ได้จากการคำนวณด้วยกฎผลคูณ แต่กว่าความจริงจะปรากฎ คุณ Ray Krone ก็ติดคุกฟรีไปถึง 10 ปี หลังจากหลักฐาน DNA พิสูจน์ว่าเขาไม่ใช่ฆาตกรที่แท้จริง
สองกรณีนี้เป็นตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าการตีความคณิตศาสตร์ที่ไม่ถูกต้องอาจนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ร้ายแรงได้ ในห้องเรียนหากเข้าใจเนื้อหาอะไรสักอย่างผิด เต็มที่ก็แค่ทำข้อสอบไม่ได้ แต่ในโลกความเป็นจริง การเข้าใจคณิตศาสตร์ผิด ๆ อาจส่งผลกระทบไปไกลได้มากกว่าที่เราคิดไว้มากเลยทีเดียว
ใครที่อยากช่วยสนับสนุนเพจเว็บไซต์ของเราให้ผลิตคอนเทนต์คณิตศาสตร์อย่างนี้ต่อไป สามารถสมัครเป็นสมาชิกรายเดือนได้โดยกดปุ่ม 'สมัครสมาชิก' ได้เลยนะฮะ
แหล่งอ้างอิง
https://significancemagazine.com/statistics-in-court-incorrect-probabilities/
https://bayesian-intelligence.com/bwb/2012-03/sally-clark-is-wrongly-convicted-of-murdering-her-children/
https://forensicstats.org/blog/2018/02/16/misuse-statistics-courtroom-sally-clark-case/
https://innocenceproject.org/cases/ray-krone/