Why Abstraction? #4 - เดินย้อนขึ้นไปจากทฤษฎีบทจนถึงสัจพจน์
สรุปว่าอะไรบ้างที่จริงในคณิตศาสตร์
ถ้าคุณอ่านบทความซีรีส์นี้มาถึงตอนนี้คุณน่าจะพอตอบได้แล้วว่า สิ่งที่จริงก็คือสิ่งที่ได้รับการพิสูจน์แล้วไงว่าจริง ซึ่งถูก คุณเข้าใจถูกแล้ว แต่คุณต้องเข้าใจด้วยว่า สิ่งต่าง ๆ ที่จริงในคณิตศาสตร์นั้นมันมีลำดับของมัน เหมือนกับสายน้ำที่ไหลจากที่สูงลงที่ต่ำ เพราะการพิสูจน์ใด ๆ ก็ตามต้องอาศัยข้อเท็จจริงที่รู้ว่าจริงมาก่อน
ย้อนกลับไปตัวอย่างกำลังสองสมบูรณ์ที่เรารักกันดีกว่า เอาเวอร์ชันเบบี๋ที่สุดที่บอกว่า
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
สำหรับทุกจำนวนจริง A และ B ใด ๆ ซึ่งเราพิสูจน์แล้วว่าจริง เผื่อใครลืม ผมทวนให้อีกที เราเขียน (A + B)2 เป็น (A + B)(A + B) แล้วกระจายก้อนหน้าเข้าไปในก้อนหลัง ได้เป็น (A + B)A + (A + B)B จากนั้นก็กระจายอีกที ได้เป็น A2 + BA + AB + B2 แล้วจากนั้นเราก็ยุบสองก้อนกลางรวมกันเป็น 2AB จนทั้งหมดกลายเป็น A2 + 2AB + B2
เห็นอะไรในบทพิสูจน์นี้ไหมฮะ เราแอบใช้สมบัติการแจกแจงของจำนวนจริงที่บอกว่า x(y + z) = xy + xz ตั้งสามรอบแน่ะ นี่แหละฮะที่ผมบอกว่า การพิสูจน์ใด ๆ ก็ตามต้องอาศัยข้อเท็จจริงที่รู้ว่าจริงมาก่อน
