Why Abstraction? #8 - พีชคณิตของที่นอนกับเตียง

ตัวอย่างที่ผมกำลังจะยกต่อไปนี้มาจากบทความเรื่อง Group Theory in the Bedroom โดยคุณ Brian Hayes ที่ลงใน American Scientist เมื่อหลายปีก่อน ซึ่งพูดถึงคำแนะนำในอินเตอร์เน็ตที่บอกว่าเราควรพลิกที่นอน เพื่อให้มันไม่ยุบแค่จุดเดียว 

ด้วยความเป็นนักคณิตศาสตร์ เขาจึงเริ่มครุ่นคิดเกี่ยวกับวิธีการหมุนที่นอนทั้งหมดที่เป็นไปได้ และพบว่ามันมีรูปแบบทั้งหมด 4 แบบ คือไม่หมุนเลย ใช้สัญลักษณ์ I พลิกตามแนวยาว ใช้สัญลักษณ์ R พลิกตามแนวขวาง ใช้สัญลักษณ์ P และหมุนที่นอน 180 องศา ใช้สัญลักษณ์ Y

แล้วค่อย ๆ คิดว่า จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเขาทำแต่ละขั้นตอนที่ว่านั้น 2 ขั้นต่อกัน

เริ่มจากตัวอย่างที่ง่ายที่สุด R ต่อด้วย R ชัดเจนว่าผลที่ได้คือ I เพราะการพลิกตามแนวขวางสองรอบนั้นเหมือนกับการไม่ทำอะไรเลย หรือจะเป็น P ต่อด้วย P และ Y ต่อด้วย Y ก็เช่นกัน

ลองไปดูแบบที่ซับซ้อนขึ้น P แล้วต่อด้วย R 

คราวนี้ผลที่ได้คือหัวเตียงจะถูกย้ายมาอยู่ที่ปลายเตียง ซึ่งเหมือนกับการหมุนที่นอน 180 องศา หรือ Y นั่นเอง กลายเป็นว่า P แล้วต่อด้วย R นั้นกลายเป็น Y