กรุปในฐานะเครื่องมือทำความเข้าใจความไพเราะของบทเพลง

ในซีรีส์บทความเรื่อง Why Abstraction? ทำไมต้องทำให้นามธรรม ผมพยายามเล่าให้คุณฟังว่า การศึกษาเรื่องกรุปนั้นเป็นสะพานที่เชื่อมโยงระหว่างคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และการประยุกต์ใช้ในโลกจริง ทำให้เราสามารถมองเห็นโครงสร้างที่ซ่อนอยู่ของจักรวาลได้อย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้น แต่ผมเพิ่งนึกได้ว่ายังไม่ได้ให้ตัวอย่างคุณจริง ๆ จัง ๆ สักเรื่องเลย

ความจริงแล้วผมมีตัวอย่างเยอะมากที่อยากยกให้คุณฟัง ผมชั่งใจอยู่นานระหว่างตัวอย่างเรื่องรูบิก เคมี หรือการปูกระเบื้อง แต่ผมเห็นว่าตัวอย่างเหล่านั้นหาอ่านได้ไม่ยาก คุณสามารถไปศึกษามันเองได้ถ้าสนใจ เลยขอเลือกตัวอย่างที่เห็นว่าซับซ้อน และคิดเอาเองว่าน่าตื่นเต้นสักหน่อย

เรื่องคือ ตอนทำข้อมูลเพื่อเขียนหนังสือเล่มหนึ่ง ผมดันไปเจอบทความที่ชื่อว่า Uniform Triadic Transformations โดยคุณจูเลียน ฮุก ซึ่งเป็นนักทฤษฎีดนตรี อันที่จริงผมไม่แน่ใจว่าจะเรียกว่าเขาเป็นนักทฤษฎีดนตรีได้ไหม ปัจจุบันเขาเป็นอาจารย์สอนด้านทฤษฎีดนตรีอยู่ที่ Indiana University ก็จริง แต่ถ้าเราไปดูประวัติการศึกษาของเขา จะพบว่าเขาเรียนปริญญาตรีและเอกด้านคณิตศาสตร์ จากนั้นค่อยมาเรียนปริญญาโทด้านสถาปัตย์และเปียโนอย่างละใบ ก่อนจะปิดท้ายด้วยปริญญาเอกด้านทฤษฎีดนตรี

ดังนั้นถ้าจะพูดให้รัดกุม เขาเป็นนักทฤษฎีดนตรีที่รู้คณิตศาสตร์ระดับปริญญาเอก และเคยเรียนสถาปัตย์มานิดหน่อย แบบนี้จะครบถ้วนกว่า

งานวิจัยส่วนใหญ่ของคุณฮุกนั้นว่าด้วยการอธิบายทฤษฎีดนตรีด้วยคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเรื่องของโครงสร้างคอร์ด การวิเคราะห์ดนตรีเชิงคณิตศาสตร์ และการประยุกต์ใช้พีชคณิตในการอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างเสียงต่าง ๆ

เพื่อที่จะเข้าใจสิ่งนี้ เราต้องเริ่มจากการมองโน้ตดนตรีเป็นตัวเลข โดยให้โดเป็นเลข 0 แล้วก็ไล่ไปเรื่อย ๆ ทีละครึ่งเสียงอีก 11 ครั้ง ก่อนจะกลับมาที่โดอีกที ใช่ฮะ มันคือ ℤ₁₂ นั่นเอง

ระวังงงนิดนึงนะฮะ โน้ตตำแหน่งที่อยู่ติดกันนั้นเรียกว่าห่างกันครึ่งเสียงนะฮะ จาก C ไป C# เรียกว่าหนึ่งครึ่งเสียง จาก C# ไป D# เรียกว่าสองครึ่งเสียง

คราวนี้เราจะพูดถึงไทรแอด (Triad) ที่หมายถึงคอร์ดซึ่งประกอบขึ้นมาจากโน้ตสามตัว ตัวที่หนึ่ง เรียกว่า root หรือราก ตัวที่สองเรียกว่า third แต่ในที่นี้ผมจะเรียกว่า ตัวที่สอง เพื่อความสะดวก และตัวที่สาม เรียกว่า fifth ซึ่งผมก็จะเรียกว่า ตัวที่สาม เพื่อความสะดวกเช่นกัน

โดยไทรแอดมีหลายประเภท แต่ไทรแอดที่คุณฮุกสนใจนั้นคือไทรแอดแบบ major และแบบ minor

ไทรแอดแบบ major ประกอบขึ้นมาจากโน้ตตัวแรกซึ่งคือราก ต่อด้วยโน้ตตัวที่อยู่ในตำแหน่งที่นับไปจากรากสี่ครึ่งเสียง และถัดไปอีกสามครึ่งเสียง เช่น C major ก็จะประกอบด้วยโน้ตตัวแรกคือ C ซึ่งมีค่า 0 จากนั้นบวกไปอีกสี่ตำแหน่งได้ 4 นั่นคือ E และบวกต่อไปอีกสามตำแหน่ง คือ 7 ซึ่งคือ G รวมกันเรียกว่า C major ไทรแอด เขียนได้เป็น [C,E,G] หรือ [0,4,7] นั่นเอง

ส่วน minor ไทรแอดนั้น ประกอบขึ้นจากราก และโน้ตตัวที่อยู่ถัดไปสามครึ่งเสียง และถัดไปอีกสี่ครึ่งเสียง เช่น C minor ก็จะประกอบด้วยโน้ตตัวแรกคือ C ต่อด้วยบวกสามซึ่งได้ E♭ และบวกไปอีกสี่ตำแหน่งได้ G จะได้เป็น C minor ไทรแอด เขียนได้เป็น [C, E♭, G] หรือ [0,3,7] นั่นเอง

สรุปก็คือ ตอนนี้เราสามารถสร้างไทรแอดโดยเริ่มต้นจากการหยิบโน้ตสักตัวมาเป็นราก และเลือกสร้างได้สองแบบ คือเป็น major หรือ minor ก็ได้ รวมเป็นไทรแอดทั้งหมด 24 แบบ 

กลับมาที่เรื่องดนตรี คือเท่าที่ผมไปอ่านมา ไม่ว่าจะเป็นดนตรีคลาสสิกดั้งเดิมหรือเพลงป็อปสมัยใหม่ มักมีพื้นฐานมาจากคีย์หลักหนึ่งคีย์ ที่จะกำหนดเสียงหลักหรือโน้ตที่เป็นศูนย์กลางของเพลง โดยคีย์หลักนี้จะให้ความรู้สึกถึงบ้านหรือจุดเริ่มต้นและจุดจบที่สมบูรณ์ในดนตรี คีย์ยังเป็นกรอบที่กำหนดโน้ตและคอร์ดที่ใช้ในเพลงอีกด้วย

ตัวอย่างเช่น ถ้าเพลงอยู่ในคีย์ C major โน้ตส่วนใหญ่ที่ใช้ในเพลงจะมาจากชุดโน้ตในบันไดเสียง C major และจะให้ความสำคัญกับเสียง C เป็นหลัก เป็นเหมือนศูนย์กลางที่ผู้ฟังจะสัมผัสถึงความเป็นเนื้อเดียวกันของเพลง เมื่อกำหนดคีย์แล้ว คอร์ดและบันไดเสียงต่าง ๆ จะทำงานประสานกันเพื่อสร้างทำนองและเสียงประสานที่ไพเราะและลื่นหู ซึ่งดนตรีที่มีลักษณะเช่นนี้ถูกเรียกว่าดนตรีที่มีศูนย์กลางเสียง (tonal music)

จนกระทั่งในปี 1859 ริชาร์ด วากเนอร์ นักแต่งเพลงชาวเยอรมันในยุคโรแมนติก ได้ปฏิวัติแนวคิดดนตรีแบบมีคีย์หลัก โดยการเลือกใช้หลากหลายคีย์ในหนึ่งเพลง เคลื่อนย้ายจากคีย์หนึ่งไปยังอีกคีย์หนึ่งอย่างอิสระ และสร้างอารมณ์ที่ลึกซึ้งขึ้น

หลายทศวรรษต่อมา อาร์โนลด์ เชินแบร์ก และนักประพันธ์คนอื่น ๆ ได้พัฒนาแนวคิดใหม่ โดยละทิ้งการใช้คอร์ดหรือทำนองที่ยึดติดกับคีย์หลัก มาให้ความสำคัญกับโน้ตทั้ง 12 ตัวในหนึ่งบันไดเสียงเท่า ๆ กัน และหลีกเลี่ยงการแต่งเพลงโดยมีคีย์หลัก ซึ่งนักประพันธ์คนอื่น ๆ ในยุคถัดมาก็ได้นำเทคนิคนี้มาปรับใช้ตามสไตล์ของตนเอง จนโจเซฟ มาร์กซ์ นักประพันธ์และนักวิจารณ์ดนตรีชาวออสเตรียได้ให้นิยามแนวทางใหม่ที่เกิดขึ้นนี้ว่า ดนตรีไร้ศูนย์กลางเสียง (atonal music)

ราวกับว่านี่คือการหลุดออกจากกรอบของกฎเกณฑ์ และสร้างดนตรีที่ไร้แพทเทิร์นใด ๆ ขึ้นมา

แต่นักทฤษฎีดนตรีกลับค้นพบว่า คำว่าเคลื่อนย้ายจากคีย์หนึ่งไปยังอีกคีย์หนึ่งอย่างอิสระของดนตรีไร้ศูนย์กลางเสียงนั้นก็เหมือนจะไม่ได้อิสระซะทีเดียว เพราะจริง ๆ แล้วมันยังมีแพทเทิร์นบางอย่างที่อยู่เบื้องหลังความไพเราะของการเปลี่ยนคีย์ที่ว่าอยู่ ไม่ใช่เปลี่ยนไปเรื่อยไปเปื่อยแบบไร้กฎเกณฑ์

นักทฤษฎีดนตรีเชิงคณิตศาสตร์อธิบายว่า การเปลี่ยนใน major ด้วยกันหรือ minor ด้วยกันนั้นไม่ยาก เราแค่นิยามการแปลง T_n ให้เป็นการเอาโน้ตทุกตัวในไทรแอดหนึ่งไปลบด้วย n ให้หมด หรือเขียนเป็นสูตรได้ว่า T_n(a) = a - n เช่น เราสามารถใช้ T₄ แปลงจาก E major ไปเป็น C major ได้ด้วยการแค่เอาโน้ตทั้งสามตัวของ E major ซึ่งคือ [4,8,11] ไปลบ 4 มันก็จะออกมาเป็น [0,4,7] ซึ่งคือ C major

แล้วการเปลี่ยนจาก major เป็น minor  หรือ minor เป็น major ล่ะ แน่นอนว่าเราทำไม่ได้ผ่านแค่ T_n เราจึงต้องสร้างการแปลงชนิดใหม่ขึ้นมา ให้เป็นการสะท้อนโน้ตก่อนเลื่อน นั่นคือนิยาม T_nI ให้เป็น T_nI(a) = - a + n ซึ่งเมื่อเราสนใจเซตของ T_n และ T_nI รวมกัน ตั้งแต่ n เท่ากับ 0 จนถึง 11 มันจะฟอร์มตัวเป็นกรุป ซึ่งสมสัณฐานกับ กรุปสมมาตรของรูป 12 เหลี่ยมปกติ (symmetry group of a regular dodecagon) ด้วย

การมาของ T_n และ T_nI ทำให้เราสามารถแปลงไทรแอดไปมายังไงก็ได้ เช่นเราสามารถแปลง C major ไปเป็น C minor ซึ่งคือการเปลี่ยนจาก [0,4,7] ไปเป็น [0,3,7] ได้ด้วย T₇I หรือแปลง D major ไปเป็น D minor ได้ด้วย T₁₁I

การมองโน้ตดนตรีที่เปลี่ยนแปลงไปผ่านกรุปของการแปลง T_n และ T_nI นี้ฟังดูดีมาก เพราะเราสามารถอธิบายการเปลี่ยนคอร์ดไปมาของเพลงที่ไร้ศูนย์กลางเสียงได้ด้วยโครงสร้างคณิตศาสตร์แล้ว

แต่ฮูโก รีมันน์ยังไม่พอใจกับข้อค้นพบนี้

คุณรีมันน์เองก็เป็นนักทฤษฎีดนตรี แต่เขารู้สึกว่าการมองวิธีเปลี่ยนคอร์ดแบบนี้ยังไม่ใช่วิธีอธิบายการเปลี่ยนคีย์ที่ดีเท่าไร เพราะในทางปฏิบัติหูของมนุษย์ไม่สามารถแยกความแตกต่างระหว่างการแปลง C major ไปเป็น C minor กับการแปลง D major ไปเป็น D minor ได้ เรารู้สึกว่ามันเป็นการเปลี่ยนที่เหมือนกัน คณิตศาสตร์ควรจะสะท้อนความรู้สึกของหูมนุษย์ ดังนั้นถ้าจะมองการเปลี่ยนคอร์ดเป็นการแปลงทางคณิตศาสตร์ มันจึงควรจะถูกแปลงด้วยวิธีเดียวกันสิ ไม่ใช่แปลงด้วยคนละวิธีแบบนี้

เขาจึงสร้างคอนเซ็ปต์ที่เรียกว่า การแปลงไทรแอด ขึ้นมา และนิยามการแปลงไทรแอดมูลฐานไว้ 3 ชนิด ประกอบด้วย

• P (Parallel) คือการคงรากไว้ แล้วสลับแค่ความเป็น minor และ major เช่น C major จะถูกแปลงเป็น C minor และ D minor จะถูกแปลงเป็น D major
• L (Leading Tone) คือถ้าเดิมเป็น major ให้ลบตัวที่หนึ่งด้วย 1 และย้ายมันไปเป็นตัวที่สาม แต่ถ้าเดิมเป็น minor ให้บวกตัวที่สามด้วย 1 และย้ายมันไปเป็นตัวที่หนึ่ง เช่น C major [0,4,7] จะถูกแปลงเป็น E minor [4,7,11] แต่ C minor [0,3,7] จะถูกแปลงเป็น A♭ major [8,0,3]
• R (Relative) คือถ้าเดิมเป็น major แล้ว ให้บวกตัวที่สามด้วย 2 และย้ายมันไปเป็นตัวที่หนึ่ง แต่ถ้าเดิมเป็น minor แล้ว ให้ลบตัวที่หนึ่งด้วย 2 และย้ายมันไปเป็นตัวที่สาม เช่น C major [0,4,7] จะถูกแปลงเป็น A minor [9,0,4] แต่ C minor [0,3,7] จะถูกแปลงเป็น E♭ major [3,7,10]

สิ่งนี้ฟังดูดีขึ้นกว่าไอเดียที่แล้ว เพราะเราสามารถเปลี่ยนไทรแอดนึงเป็นอีกไทรแอดนึงได้ด้วยการแปลงมูลฐานแค่ 3 แบบ แล้วก็แก้ปัญหาเรื่องการแปลง C major ไปเป็น C minor ให้เหมือนกับการแปลง D major ไปเป็น D minor ได้แล้ว ด้วยการมองว่ามันถูกแปลงด้วย P เหมือนกัน แต่เหมือนคำอธิบายนี้ก็ยังไม่ค่อยถูกใจคุณฮุกเท่าไร

คุณฮุกบอกว่าข้อเสียของการแปลงมูลฐานสามอันนี้คือมันพื้นฐานมากจนทำให้การแปลงโน้ตจริง ๆ ออกมาซับซ้อนเกินไป เช่น ถ้าจะแปลงจาก C major ไปเป็น B♭ minor นั้นต้องใช้การแปลงมูลฐานถึง 5 ครั้ง แถมมันยังเขียนได้ในหลายรูปแบบด้วย เช่น LPRPR หรือ LRPRP หรือ PLRLR และอีกหลายแบบ สิ่งนี้ไม่สวยเอาซะเลยทั้งในทางคณิตศาสตร์และในทางทฤษฎีดนตรี คุณฮุกบอกว่าเวลาเพลงเปลี่ยนคอร์ดสักครั้งนึง หูของมนุษย์เราไม่ได้ได้ยินการแปลงแยกกันเป็น 5 องค์ประกอบแบบนี้สักหน่อย คำอธิบายที่ดีควรจะสะท้อนสิ่งที่เกิดขึ้นจริงในความรู้สึกเราสิ

คุณฮุกเลยเสนอสิ่งที่เรียกว่า การแปลงไทรแอดสม่ำเสมอ (uniform triadic transformation) ซึ่งนิยามผ่านเครื่องหมายและตัวเลขสองตัว เครื่องหมายคือ + ไม่ก็ - ส่วนตัวเลขที่ว่าจะเป็นเลขอะไรก็ได้ตั้งแต่ 0 ถึง 11 ซึ่งก็คือตัวแทนของตัวโน้ต 

สมมติว่าผมมีการแปลงอันหนึ่งชื่อว่า U ซึ่งนิยามให้เป็น ⟨+,4,7⟩ ผมต้องการเอาการแปลง U อันนี้ไปใช้แปลง C major

เราต้องเริ่มจากการดูเครื่องหมายก่อน ถ้าเครื่องหมายเป็น + แปลว่าเราต้องคงความเป็น major/minor ไว้ แต่ถ้าเครื่องหมายเป็น - แปลว่าต้องเปลี่ยนเป็นอีกอัน

ซึ่งสำหรับ U ในตัวอย่างของเรานั้นมีเครื่องหมายเป็น + แปลว่าคอร์ดใหม่ที่ได้จากการแปลง C major จะยังเป็น major อยู่เหมือนเดิม

ต่อมา ดูตัวเลขใน U ถ้าเอา U ไปแปลงคอร์ดที่เป็น major แปลว่าให้เอารากไปบวกด้วยเลขตัวแรก แต่ถ้าเอาไปแปลงคอร์ดที่เป็น minor แปลว่าให้เอารากไปบวกด้วยเลขตัวที่สอง

อย่างในกรณี U = ⟨+,4,7⟩ ของเรานั้น ถ้าเราเอาไปแปลง C major มันจึงคือการเอา C ไปบวกด้วย 4 ซึ่งได้เป็น E รวมเป็น E major แต่ถ้าเราเอา U = ⟨+,4,7⟩ ตัวเดิมไปแปลง C minor เราจะต้องเอา C ไปบวกด้วย 7 ซึ่งได้เป็น G รวมเป็น G minor นั่นเอง

สรุปอีกทีสั้น ๆ ว่า เครื่องหมาย บอกว่าต้องเปลี่ยน major/minor ไหม ส่วนตัวเลขสองตัวนั้นบอกว่า ถ้าเดิมเป็น major ต้องบวกเท่าไร ถ้าเดิมเป็น minor ต้องบวกเท่าไรนั่นเอง

การมองการเปลี่ยนคอร์ดดนตรีด้วยการแปลงไทรแอดสม่ำเสมอนั้นมีข้อดีหลายอย่าง อย่างแรกคือมันสามารถยุบรวมกันได้ จากเดิมที่ต้องใช้การแปลงถึง 5 ขั้นตอนในการแปลง C major ไปเป็น B♭ minor นั้น วิธีของคุณฮุกสามารถยุบมันให้เหลือการแปลงเดียวได้ ยิ่งไปกว่านั้น ภายใต้การนิยามตัวดำเนินการที่เหมาะสม เราจะได้ว่าเซตของการแปลงไทรแอดสม่ำเสมอนั้นเป็นกรุปอีกด้วย

คุณฮุกลองไปสังเกตการเปลี่ยนคอร์ดในเพลงคลาสสิกหลายเพลง เช่นใน Violin Concerto in A minor หมายเลข 1 ของบาร์ค เขาพบว่ามีช่วงหนึ่งที่บาร์คใช้คอร์ด E minor ตามด้วย E major ตามด้วย A Minor ตามด้วย A major และตามด้วย D minor สิ่งนี้ดูไม่สัมพันธ์อะไรกันเลยถ้ามองผ่าน ๆ มันก็ดูเป็นแค่คอร์ด 5 คอร์ดมาเรียงต่อกัน แต่ด้วยมุมมองของการแปลงไทรแอดสม่ำเสมอ เราพบว่า จริง ๆ แล้วลำดับของแต่ละคอร์ดทั้ง 5 นี้นั้นมันสัมพันธ์กันผ่านการแปลง ⟨-,5,0⟩ เฉยเลย

ไม่ใช่แค่เพลงนี้ แต่คุณฮุกไปสำรวจอีกหลายเพลงและพบว่าบางท่อนของเพลงนั้นเหล่านั้นก็จะมีการเปลี่ยนคอร์ดที่สัมพันธ์กันผ่านการแปลงไทรแอดสม่ำเสมอที่เขาเสนอไว้ ซึ่งแสดงไว้ในตารางข้างล่างนี้

แน่นอนว่าผู้ประพันธ์เพลงเหล่านั้นคงไม่ได้คำนวณตามสมการแสนซับซ้อนของคุณฮุกหรอก พวกเขาก็น่าจะแต่งเพลงตามความรู้สึกนึกคิดให้เกิดสุนทรีย์ไปตามเรื่องตามราว

เพียงแต่ข้อค้นพบของคุณฮุกเหมือนกำลังจะบอกเราว่า เบื้องหลังความรู้สึกไพเราะของการต่อคอร์ดในความรู้สึกของมนุษย์นั้น แท้จริงแล้วก็มีกฎบางอย่างซ่อนอยู่เบื้องหลัง และเครื่องมือที่ช่วยให้เราเข้าใจกฎเหล่านั้น นั่นคือสิ่งที่แสนจะนามธรรมในคณิตศาสตร์อย่างกรุป

และเช่นเดิม ใครที่อยากสนับสนุนเพจเว็บไซต์ของเรา ให้ผลิตคอนเทนต์คณิตศาสตร์แบบนี้ต่อไป ก็สามารถสมัครเป็นสมาชิกรายเดือนได้โดยกดปุ่ม 'สมัครสมาชิก' ได้เลยนะฮะ

แหล่งอ้างอิง
https://www.jstor.org/stable/4147678
https://muse.jhu.edu/article/795165
https://www.youtube.com/watch?v=TY4awNdZ1y8
https://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2009/REUPapers/Wood.pdf
https://cklixx.people.wm.edu/teaching/math400/Chris.pdf
https://www.researchgate.net/publication/237773040_The_Framework_of_Music_Theory_as_Represented_with_Groups