ทำไมสมการเชิงเส้นมันถึงสำคัญนัก

คำว่าสมการเชิงเส้นอาจจะฟังไม่ค่อยคุ้นหูสำหรับบางคน แต่ถ้าบอกว่าสมการเส้นตรง หลายคนน่าจะพยักหน้าทันที จริง ๆ แล้วคำว่าเชิงเส้นกว้างกว่าเส้นตรงเล็กน้อย มันหมายถึงสมการที่ตัวแปรอยู่ในกำลังหนึ่ง ไม่มีการยกกำลังสอง คูณกันเอง หรือเข้าไปอยู่ในฟังก์ชันประหลาด ๆ เพียงแต่ในกรณีสองมิติ พอเราเขียนออกมาเป็นกราฟ มันจะกลายเป็นเส้นตรงพอดี

ซึ่งสมการเส้นตรง นั้นน่าจะเป็นสมการสองตัวแปรชนิดแรก ๆ ที่เรารู้จัก ถ้าจำไม่ผิดน่าจะเป็นชั้น ม.1 ที่ครูสอนว่า y=mx+k นะ โดยที่ m คือความชัน ส่วน k ตำแหน่งที่เส้นตัดแกน y แล้วก็มีรูปมาตรฐาน รูปทั่วไป อะไรต่อมิอะไรอีกก็ไม่รู้

จากนั้นเราก็ขยับไปเรียนสมการเส้นโค้งที่ไม่เชิงเส้น เพราะสูตรของมันเริ่มมีเลขชี้กำลังหรืออะไรที่ดูแฟนซีกว่านั้น อย่างพาราโบลา วงกลม วงรี ไฮเพอโบลา เอ็กโพเนนเชียล ล็อค แล้วก็อะไรต่อมิอะไรอีกก็ไม่รู้เต็มไปหมด

จนทำให้สมการเชิงเส้นนั้นดูเป็นเหมือนเป็นของง่าย ๆ ที่ไม่มีอะไรให้ศึกษา ทั้งที่จริงแล้วสมการเส้นตรงนั้นมีความสำคัญกว่านั้นมาก ถึงขนาดที่บางคนพูดว่า มันเป็นสมการที่สำคัญที่สุดในคณิตศาสตร์เลยด้วยซ้ำ

ในความเห็นของผม (ซึ่งคุณอาจจะไม่เห็นด้วยก็ได้) สาเหตุที่สมการเส้นตรงนั้นได้ชื่อว่าเป็นสมการที่สำคัญที่สุดในคณิตศาสตร์นั้นมีอยู่สองประการ

ประการแรกคือ มันแก้ได้

ใช่ฮะ มันแก้ง่าย เราแก้สมการเชิงเส้นได้เสมอ จะตัวแปรเดียวหรือกี่ตัวแปรเราก็แก้ได้ โอเคมันอาจจะมีบางเคสที่ไม่มีคำตอบ แต่เราก็บอกได้ว่าเคสไหนมันจะไม่มีคำตอบอยู่ดี ดังนั้นเมื่อไรก็ตามที่เรามีเหตุให้ต้องข้องเกี่ยวกับสมการเชิงเส้น เราจะสบายใจทันที เพราะรู้ว่ายังไงก็แก้ได้

แม้ว่าในระดับชั้นที่สูงขึ้นครูจะสอนเราแก้สมการแฟนซี ๆ อย่างพวกสมการกำลังสองหรือเอ็กโพเนนเชียล แต่สิ่งที่ต้องรู้ให้ทันคือสมการพวกนั้นถูกออกแบบมาให้แก้ได้ เพื่อให้คุณเรียนในห้องเรียนเฉย ๆ ลองนึกถึงสมการที่หน้าตาแสนธรรมดาอย่าง

แค่นี้เราก็ตันแล้ว ทั้งที่มันดูไม่ซับซ้อนเลย

ดังนั้น เราจึงรักสมการเชิงเส้นเป็นพิเศษ เพราะไม่ว่ามันจะซับซ้อนซ่อนเงื่อนแค่ไหน เราก็แก้ได้

และประการที่สองคือ เพราะสมการไม่เชิงเส้นที่เราต้องข้องเกี่ยวด้วยส่วนใหญ่นั้นสามารถประมาณได้ด้วยสมการเชิงเส้น

ดูรูปข้างล่างนี้ประกอบก็ได้ฮะ คุณจะเห็นว่าสมการเส้นสีแดงนั้นไม่เชิงเส้น แต่ถ้าเราสนใจที่จุด a เป็นพิเศษ คุณจะเห็นว่าเราสามารถประมาณค่าของสมการเส้นสีแดงแถว ๆ จุด a ได้ด้วยสมการเส้นสีน้ำเงินซึ่งเป็นสมการเชิงเส้น

คุณอาจจะถามต่อว่า มันก็ประมาณได้แม่นแค่แถว ๆ จุด a หรือเปล่า ถ้าขยับออกมานิดนึงมันก็ไม่แม่นแล้ว

ใช่ฮะ คุณเข้าใจถูก พอขยับออกมาไกล ๆ มันก็เริ่มไม่ใกล้กันแล้ว แต่เราไม่จำเป็นต้องใช้สมการเส้นตรงแค่เส้นเดียวนี่นา

อย่างรูปข้างล่างนี้ คุณจะเห็นว่าเราสามารถหยิบเส้นตรงหลาย ๆ เส้นมาช่วยกันประมาณเส้นโค้งได้ โดยที่ถ้ารู้สึกว่าแค่นี้ยังประมาณได้ไม่แม่นยำพอ ก็แค่ซอยช่วยให้ถี่ขึ้นกว่านี้ไปอีก

จริง ๆ แล้วเราแทบทุกคนต่างเคยประมาณค่าเส้นโค้งด้วยเส้นตรงกันมาแล้วทุกคนตั้งแต่ตอนเรียนกลศาสตร์ตอน ม.4

ถ้ายังจำได้ตอนเรียนเรื่อง simple pendulum ตอนนั้นเราได้ว่าแรงที่ดึงลูกตุ้มกลับมีค่าประมาณ mgsinθ และเมื่อ θ มีค่าน้อย ๆ เราก็บอกว่า ให้ sinθ มีค่าประมาณ θ ไปเลยก็แล้วกันเพื่อความง่าย

เราทำแบบนี้ได้เพราะรู้ว่าแถว ๆ จุด 0 นั้น กราฟของ x และ sinx นั้นมีค่าใกล้กันมากจนประมาณกันได้นั่นเอง

ทีนี้คุณลองเอาเหตุผลสองข้อมาต่อกันสิ

หนึ่ง สมการเชิงเส้นแก้ได้
สอง สมการไม่เชิงเส้นจำนวนมากสามารถประมาณให้เป็นเชิงเส้นได้ในบริเวณที่เราสนใจ

นั่นแปลว่า ถ้าเราเจอกับสมการไม่เชิงเส้นที่แก้ไม่ได้ สิ่งที่เราต้องทำก็แค่ประมาณมันด้วยสมการเชิงเส้นเหมาะ ๆ สักอัน (หรือหลายอัน) แล้วใช้เครื่องมือของสมการเชิงเส้นที่เรามีอยู่เต็มไม้เต็มมือเข้าไปจัดการมันซะ

ใช่ คำตอบที่ได้ก็ไม่ได้ถูกต้องเป๊ะร้อยเปอร์เซ็นหรอก แต่ถ้าเราสามารถลดความคาดเคลื่อนของการประมาณได้เล็กพอ มันก็โอเคในทางปฏิบัติแล้ว

นึกภาพว่าถ้าคุณกำลังสร้างตึกสักตึกแล้วต้องแก้สมการนึง ระหว่างการตอบว่า แก้ไม่ได้เพราะไม่เชิงเส้น กับบอกว่าคำตอบประมาณเท่านี้ ๆๆๆ พร้อมทศนิยมสัก 5 ตำแหน่ง อันไหนมีประโยชน์กว่ากัน

ยิ่งในโลกดิจิตอลที่ความโค้งไม่มีอยู่จริง ภาพสามมิติต่าง ๆ ที่คุณเห็นว่ามันดูโค้ง ที่จริงก็แค่ชิ้นส่วนแผ่นเรียบ ๆ เล็ก ๆ มาเรียงต่อกัน เพียงแค่แผ่นมันเล็กมากจนคุณดูแล้วคิดว่ามันเหมือนเป็นเส้นโค้งเท่านั้นเอง

แน่นอนว่าการประมาณสมการอะไรสักอย่างด้วยสมการเชิงเส้นนั้นก็ไม่ได้ตรงไปตรงมาเสมอไป ฟังก์ชันอะไรบ้างที่ประมาณด้วยเส้นตรงไม่ได้ ฟังก์ชันพวกนั้นมีสมบัติอย่างไร แล้วจะจัดการกับพวกมันอย่างไร จะประมาณยังไงให้เร็วที่สุด ให้แม่นยำที่สุดภายใต้เงื่อนไขต่าง ๆ

ยังมีคำถามอีกมากมายให้นักคณิตศาสตร์ยังต้องศึกษากันจนถึงทุกวันนี้

กับแค่เรื่องสมการเส้นตรงที่ฟังดูไม่มีอะไรนี่แหละ

และเช่นเดิม ใครที่อยากสนับสนุนเพจเว็บไซต์ของเรา ให้ผลิตคอนเทนต์คณิตศาสตร์แบบนี้ต่อไป ก็สามารถสมัครเป็นสมาชิกรายเดือนได้โดยกดปุ่ม 'สมัครสมาชิก' ได้เลยนะฮะ

แหล่งอ้างอิง
https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calci/linearapproximations.aspx
https://xaktly.com/DerivativesII.html
https://steemit.com/steemiteducation/@masterwu/linear-approximations-part-3-why-sin-x-x-near-0
https://peter-amerkhanian.com/posts/linear-approximation-3d/