เกมที่มีผลตอบแทนเฉลี่ยเป็นอนันต์ แต่ไม่ค่อยน่าเล่นเท่าไร

เกมที่มีผลตอบแทนเฉลี่ยเป็นอนันต์ แต่ไม่ค่อยน่าเล่นเท่าไร

เวลาเราเรียนเรื่องความน่าจะเป็น ตัวอย่างที่มักถูกยกประจำคือเกมการพนัน และเรามักถูกสอนว่า เกมที่น่าเล่น คือเกมที่ผลตอบแทนเฉลี่ยเป็นบวก

อย่างหวย รางวัลที่เราจะได้โดยเฉลี่ยเท่ากับ 48 บาท แต่เราซื้อหวยใบละ 80 บาท นั่นแปลว่าผลตอบแทนเฉลี่ยเท่ากับ -32 ซึ่งติดลบ ดังนั้นหวยจึงเป็นเกมที่ไม่น่าเล่น ยกเว้นคุณจะรู้เลขที่จะออกด้วยวิธีการเหนือธรรมชาติบางอย่าง

หลักคิดแบบนี้สามารถเอาไปประยุกต์ใช้กับเกมอะไรก็ได้ คุณแค่ต้องหาเกมที่ผลตอบแทนเฉลี่ยเป็นบวก เล่นซะ แล้วก็เตรียมรวยได้เลย

เดี๋ยวก่อน นั่นอาจไม่จริงเสมอไป ในบทความนี้ผมจะชวนคุณเล่นเกมเกมหนึ่ง ที่มีผลตอบแทนเป็นอนันต์ (โห้ เป็นอนันต์เลยอ่อพี่) ซึ่งฟังดูล่อตาล่อใจสุด ๆ แต่ในความจริงกลับเป็นเกมที่ไม่น่าเล่นเท่าไร

กติกาของเกมนี้ง่ายมาก ผมมีเหรียญอยู่เหรียญหนึ่ง เป็นเหรียญที่ยุติธรรม ไม่ได้ใส่กลโกลอะไรไว้ ผมจะโยนเหรียญหนึ่งครั้ง ถ้ามันออกก้อย ผมจะโยนต่อ ถ้ามันออกหัว ผมจะหยุด พูดอีกแบบคือ ผมจะโยนเหรียญไปเรื่อย ๆ จนกว่ามันจะออกหัว เมื่อมันออกหัวปุ๊บ เกมจะจบ แล้วผมก็จะจ่ายเงินให้คุณตามจำนวนครั้งที่ผมโยนไปตะกี้ โดยถ้าผมโยนไป n ครั้ง ผมจะจ่ายเงินคุณ 2ⁿ บาท

เช่น ถ้าผมโยนได้หัวเลยในครั้งแรก คุณจะได้เงิน 2 บาท
ถ้าผมโยนได้ก้อยแล้วค่อยหัว คุณจะได้เงิน 4 บาท
ถ้าผมโยนได้ ก้อยก้อยหัว คุณจะได้เงิน 8 บาท
ถ้าผมโยนได้ ก้อยก้อยก้อยหัว คุณจะได้เงิน 16 บาท
ไล่ไปแบบนี้ ตามทันเนอะ

รางวัลเฉลี่ยของเกมนี้เป็นเท่าไร วิธีการหาค่าเฉลี่ยในโลกของความน่าจะเป็นต่างจากการเฉลี่ยที่คนทั่วไปคุ้นเคยนิดหน่อย คือเราจะเอาเงินรางวัลที่ได้มาคูณกับความน่าจะเป็นที่จะได้รางวัลนั้น ค่าเฉลี่ยแบบนี้เรียกเป็นภาษาเท่ ๆ ว่าค่าคาดหมาย หรือ Expected Value

มาค่อย ๆ คิดค่าคาดหมายของเกมนี้กัน

ความน่าจะเป็นที่จะโยนครั้งแรกแล้วออกหัวคือ 1/2 ซึ่งจะทำให้เราได้เงิน 2 บาท

ความน่าจะเป็นที่จะออกก้อยก่อนหนึ่งครั้ง แล้วจึงออกหัวคือ 1/4 ซึ่งจะทำให้เราได้เงิน 4 บาท

ความน่าจะเป็นที่จะออกก้อยสองครั้งติดต่อกัน แล้วจึงออกหัวคือ 1/8 ซึ่งจะทำให้เราได้เงิน 8 บาท

ดังนั้นเมื่อคำนวณค่าคาดหมายของเงินรางวัล เราก็จะได้ว่า

E[X] = 1/2 × 2 + 1/4 × 4 + 1/8 × 8 + ...
= 1 + 1 + 1 + ...
= ∞

โว้ว ค่าคาดหมายของรางวัลจากเกมนี้คืออนันต์ ซึ่งแปลว่า ถ้าเราเล่นเกมนี้ไปเรื่อย ๆ เราจะได้เงินกลับมาเป็นอนันต์เลยนะเนี้ย

แต่ๆๆๆๆ ไหน ๆ เกมนี้ก็ให้รางวัลคุณเป็นอนันต์แล้ว ดังนั้นผมจึงขอเก็บเงินค่าเล่นเกมสักหน่อย เอาสัก ตาละ 100 บาทแล้วกัน ซึ่งไม่เป็นไรนี่นา เพราะยังไงคุณก็ได้รางวัลเป็นอนันต์อยู่แล้ว อนันต์ลบ 100 ยังไงก็ได้อนันต์ เสียตาละ 100 บาทเอง ขนหน้าแข้งไม่ร่วงหรอก ความจริงผมเก็บคุณตาละ 1,000 หรือตาละ 1,000,000 เลย คุณก็ยังได้กำไรอยู่ดี

ใช่ ถ้ามองในมุมของค่าคาดหมายก็เป็นแบบนั้นจริง ๆ แต่ถ้าลองมองในมุมอื่นดูบ้างล่ะ

อย่างแรก โอกาสที่คุณจะได้เงิน 2 บาทจากเกมนี้เท่ากับ 50% และโอกาสที่คุณจะได้เงินไม่เกิน 4 บาทคือ 75% เลยนะ

ต่อให้ค่าเข้าแค่ 100 บาท โอกาสที่คุณจะได้เงินรางวัลมากกว่าค่าเข้าก็มีเพียง 1/64 หรือประมาณ 1.56% เท่านั้น

นั่นแปลว่าคุณกำลังเล่นเกมที่มี Expected Profit เป็นอนันต์ แต่มีโอกาสขาดทุนในการเล่นแต่ละครั้งถึงประมาณ 98.44% แหนะ

สองสิ่งนี้ขัดกันหรือเปล่า ไหนบอกว่ากำไรเฉลี่ยเป็นอนันต์ไง แล้วทำไมโอกาสขาดทุนถึงเยอะขนาดนั้นล่ะ

พูดให้เห็นภาพง่าย ๆ คือ คุณจะขาดทุนในการเล่นส่วนใหญ่ (98.44% นี่ไม่น้อยเลยนะ) อาจมีบางครั้งที่คุณได้กำไร และบางครั้งที่คุณได้กำไรเยอะสุด ๆๆๆๆๆๆ แต่เมื่อคุณเล่นไปเรื่อย ๆ นานพอ คุณจะได้กำไรจากเกมนี้มหาศาล

และปัญหาอยู่ที่คำว่า 'เล่นไปเรื่อย ๆ นานพอ' นี่แหละ

คือเราต้องเข้าใจก่อนว่า คอนเซ็ปของค่าคาดหมายนั้นมันคือการที่คุณต้องเล่นเกมนั้นไปเรื่อย ๆ จนเข้าใกล้อนันต์ครั้ง จึงจะได้ผลตอบแทนตามนั้น แต่ปัญหาก็คือ เรามีเงินมากพอที่จะเล่นไปจนถึงตอนนั้นหรือเปล่า

สมมติว่าคุณมีเงินอยู่ 1,000 บาท และต้องจ่ายค่าเข้าเกมละ 100 บาท ถ้าช่วงแรกคุณโชคร้าย ได้เงินกลับมาเพียงครั้งละ 2–4 บาท เงินคุณก็อาจหมดก่อนที่จะได้พบกับรางวัลใหญ่เสียอีก

ต่อให้ในทางคณิตศาสตร์ การเล่นไปเรื่อย ๆ จะทำให้กำไรเฉลี่ยเติบโตอย่างไม่มีขอบเขต แต่มันไม่ได้รับประกันว่าเราจะมีกำไรภายใน 10 ครั้ง 100 ครั้ง หรือแม้แต่หนึ่งล้านครั้ง คุณอาจจะพลิกกลับมากำไรในตาที่หนึ่งล้านหนึ่ง หนึ่งล้านล้าน หรือเมื่อไรก็ไม่รู้ และถ้าเราหมดเงินก่อน เราก็ไม่มีโอกาสเล่นต่อไปถึงจุดที่เกมเริ่มคุ้มทุนสำหรับเราแล้ว

ปัญหานี้มีชื่อว่า St. Petersburg Paradox มันถูกเสนอโดย Nicolaus Bernoulli ในปี 1713 และต่อมา Daniel Bernoulli ได้นำไปศึกษาและเสนอคำอธิบายในบทความที่ตีพิมพ์กับสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งเมืองเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กในปี 1738 ซึ่งเป็นที่มาของชื่อปริศนานี้

คำอธิบายที่มีชื่อเสียงของ Daniel Bernoulli คือ เราไม่ควรพิจารณาแค่จำนวนเงินที่คาดว่าจะได้รับ แต่ควรพิจารณาคุณค่าที่เงินจำนวนนั้นมีต่อเราด้วย อย่างเช่นเงิน 1,000 บาทสำหรับคนที่มีเงินเก็บอยู่ 2,000 บาท ย่อมมีความสำคัญต่างจากเงิน 1,000 บาทสำหรับมหาเศรษฐี

แนวคิดนี้เป็นหนึ่งในรากฐานสำคัญของสิ่งที่เรียกว่า Expected Utility Theory ซึ่งต่อมากลายเป็นส่วนสำคัญของเศรษฐศาสตร์และทฤษฎีการตัดสินใจ

ส่วนตัวผมมองว่าตัวอย่างนี้น่าสนใจ เพราะมันทำให้เรามองเห็นข้อจำกัดของการเอาผลลัพธ์บางอย่างในทางทฤษฎีมาใช้ในโลกความเป็นจริง เพราะในโลกทฤษฎี เราสามารถเล่นเกมสักเกมไปเป็นอนันต์ครั้ง แล้วดูได้ว่าผลลัพธ์ของมันเป็นอย่างไร แต่ในทางปฏิบัตินั้นเป็นอีกเรื่อง เพราะเราเล่นเกมไปอนันต์ครั้งไม่ได้จริง ๆ

ผมไม่ได้กำลังจะบอกว่าให้เลิกเชื่อค่าคาดหมาย ตรงกันข้ามเลย เราเชื่อค่าคาดหมายได้ เพียงแต่ต้องเข้าใจด้วยว่ามันถูกนิยามมาอย่างไร และจริง ๆ แล้วมันมีความหมายว่าอะไรกันแน่

เกมที่มี 'ผลตอบแทนเฉลี่ยสูง' กับ เกมที่ 'เรามีโอกาสทำกำไรได้จริงภายใต้ข้อจำกัดที่มี' อาจเป็นคนละเรื่องกัน และเราอาจเผลอคิดว่ามันเป็นสิ่งเดียวกันได้ หากไม่เข้าใจความหมายของคำว่าค่าคาดหมายจริง ๆ

นิยามอื่น ๆ ในคณิตศาสตร์ก็เช่นกัน

และเช่นเดิม ใครที่อยากสนับสนุนเพจเว็บไซต์ของเรา ให้ผลิตคอนเทนต์คณิตศาสตร์แบบนี้ต่อไป ก็สามารถสมัครเป็นสมาชิกรายเดือนได้โดยกดปุ่ม 'สมัครสมาชิก' ได้เลยนะฮะ

เอกสารอ้างอิง
https://thematter.co/thinkers/lottery-makes-u-poor/165252
https://plato.stanford.edu/archives/fall1999/entries/paradox-stpetersburg/
https://www.jstor.org/stable/1909829
https://probabilityandfinance.com/pulskamp/NBernoulli/correspondence_petersburg_game.pdf