One Piece แห่งวงการปูกระเบื้อง

ใครเคยนั่งจ้องกระเบื้องห้องน้ำไหมฮะ มันจะมีความซ้ำ ๆ กันเป็นแพทเทิ่นอยู่เนอะ

การสร้างลวดลายซ้ำ ๆ อย่างนี้มีมาตั้งแต่สมัยโบราณ ทั้งอารยธรรมอียิปต์ กรีก โรมัน และอิสลาม โดยนำมาใช้ตกแต่งสถาปัตยกรรม ประติมากรรม และเครื่องปั้นดินเผา ก่อนจะมีการค้นพบว่าการซ้ำของลวดลายและการจัดวางนั้นมีความเป็นระเบียบอย่างน่าสนใจ เช่น ลวดลายที่เห็นบนอาคารหรือวัดในอียิปต์ หรือการใช้กระเบื้องในงานศิลปะแบบมัวร์

ในช่วงศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์เริ่มมีการจำแนกประเภทของลวดลายที่ซ้ำกัน โดยหนึ่งในผู้วางรากฐานสำคัญคือคุณเอฟกราฟ เฟโดรอฟ (Evgraf Fedorov) นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย ซึ่งมีส่วนในการพัฒนาทฤษฎีสมมาตร และการจำแนกโครงสร้างลวดลาย

เขาศึกษาโครงสร้างของลวดลายซ้ำ ๆ ที่เกิดขึ้นบนพื้นผิวสองมิติ และพบว่าการสร้างลวดลายซ้ำๆ เช่นนี้สามารถทำได้ด้วยวิธีการแปลงเชิงสมมาตรพื้นฐานหลัก ๆ ที่มีอยู่สี่แบบ ได้แก่

• การเลื่อน (translation) ลวดลายไปยังทิศทางใดทิศทางหนึ่ง โดยให้ลวดลายเคลื่อนไปในระยะทางที่เท่ากัน
• การสะท้อน (reflection) ลวดลายผ่านเส้นสมมาตร ทำให้เกิดภาพที่สะท้อนกลับข้าง
• การหมุน (rotation) ลวดลายรอบจุดศูนย์กลางที่กำหนดไว้ ทำให้เกิดภาพซ้ำที่หมุนไปตามองศาที่แน่นอน
• การเลื่อนกลับด้าน (glide reflection) คือการเลื่อนลวดลายไปยังทิศทางหนึ่ง ในขณะเดียวกันก็สะท้อนลวดลายผ่านเส้นที่อยู่ในทิศทางเดียวกัน การแปลงนี้จะทำให้เกิดการซ้ำแบบสะท้อนและเลื่อนไปพร้อมๆ กัน

นักคณิตศาสตร์พบว่า ด้วยการแปลงเชิงสมมาตรพื้นฐานทั้งสี่แบบนี้ ท่ามกลางลวดลายที่ดูแตกต่างหลากหลาย แท้จริงแล้วมีโครงสร้างลวดลายที่แตกต่างกันแค่ 17 แบบเท่านั้น ตามรูปข้างล่างนี้เลย

อย่างเช่นแบบ p4m ที่ใช้การสะท้อนและการหมุนแบบ 90° เช่น ลายกระเบื้องที่หมุนได้ทั้ง 90° และ 180° โดยสะท้อนทั้งแนวตั้งและแนวนอน พบได้ในวิหารที่ประเทศฝรั่งเศส แบบ p6m ใช้การสะท้อนและการหมุนแบบ 60° พบได้ในลายกระเบื้องหกเหลี่ยมที่มีสมมาตรแบบหกเหลี่ยม เช่นในศิลปะอิสลาม หรือแบบ pmm ใช้การสะท้อนและหมุน 180° พบได้บนลวดลายโลงศพมัมมี่ในวัฒนธรรมอียิปต์

การปูกระเบื้องหรือการสร้างลวดลายที่เราคุยกันอยู่นี้มีชื่อเรียกว่า การปูแบบเป็นคาบ (periodic tiling) หมายถึงการปูพื้นผิวที่ลวดลายจะซ้ำเป็นระยะๆ ด้วยรูปแบบที่คาดเดาได้

ซึ่งพอนักคณิตศาสตร์ค้นพบว่ามันมีแค่ 17 แบบ ก็เหมือนว่าจะไม่เหลืออะไรให้ศึกษาอีกต่อไป แต่เปล่าเลย นักคณิตศาสตร์ไม่ยอมหยุดแค่นั้นหรอกฮะ พอศึกษาการปูแบบเป็นคาบแล้ว พวกเขาก็กระโดดไปสนใจการปูแบบไม่เป็นคาบดูบ้าง

การปูแบบไม่เป็นคาบ (non-periodic tiling) คือการปูพื้นผิวสองมิติด้วยรูปทรงเรขาคณิตให้ได้ลายออกมาไม่ซ้ำ หมายความว่า แม้รูปเรขาคณิตบนกระเบื้องจะมีไม่กี่รูป แต่เมื่อปูด้วยวิธีนี้แล้ว ลวดลายที่เกิดขึ้นจะไม่วนกลับมาหากันเลย

ปัญหานี้ได้รับความสนใจจากนักคณิตศาสตร์และศิลปินมากๆ เพราะการปูกระเบื้องแบบไม่มีช่องว่าง ไม่เป็นคาบ และใช้รูปทรงที่มีอยู่จำกัดนั้น ดูจะเป็นสามเงื่อนไขที่ขัดแย้งกันเอง

ช่วงปี 1960 นักคณิตศาสตร์คนหนึ่งชื่อคุณห่าว หวาง (Hao Wang) คาดการณ์ว่า คงเป็นไปไม่ได้ที่จะหาชุดรูปทรงใดๆ ที่ปูพื้นผิวแบบไม่มีการซ้ำได้

แต่คุณโรเบิร์ต เบอร์เกอร์ (Robert Berger) ผู้เป็นลูกศิษย์คุณหวางเอง กลับค้นพบชุดกระเบื้อง 20,426 ชิ้นที่ทำได้ แม้จะดูเป็นจำนวนที่เยอะ แต่ทำได้ก็คือทำได้

จากนั้นก็มีคนทำได้ด้วยการใช้รูปทรงแค่ 104 ชิ้น และในปี 1974 คุณโรเจอร์ เพนโรส (Roger Penrose) นักฟิสิกส์-คณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด ก็คิดค้นจนเหลือรูปทรงเพียงสองชิ้นเท่านั้น

การปูกระเบื้องแบบที่เขาเสนอนั้นถูกเรียกว่า Penrose tiling ตามชื่อของเขา ซึ่งใช้รูปทรงพื้นฐานเพียงสองแบบร่วมกับกฎการจัดวางบางอย่างเพื่อมาปูพื้นผิว ทำให้ได้ลวดลายที่ไม่ซ้ำกัน และสามารถขยายลวดลายได้ไม่จำกัดโดยไม่เกิดการซ้ำแบบเป็นคาบ

การค้นพบนี้ขัดกับความเข้าใจเดิมที่เชื่อว่า เมื่อเอากระเบื้องรูปทรงเรขาคณิตซ้ำๆ มาปูยังไงก็ต้องเกิดเป็นคาบหรือลวดลายที่ซ้ำกันในที่สุด

ความพิเศษนี้ทำให้การปูแบบไม่เป็นคาบถูกเอาไปประยุกต์ใช้ในหลายสาขา เช่น วัสดุศาสตร์ เพื่อสร้างวัสดุที่มีโครงสร้างไม่เป็นระเบียบ เกิดเป็นคุณสมบัติทางฟิสิกส์ที่แปลกใหม่ ไปจนถึงการคำนวณควอนตัม ซึ่งมีงานวิจัยที่นำแนวคิดการปูแบบไม่เป็นคาบไปใช้ในการสร้างโค้ดแก้ไขข้อผิดพลาดในระบบคอมพิวเตอร์ควอนตัม เพื่อช่วยป้องกันข้อมูลจากการถูกรบกวน

พอลดจำนวนลงมาเหลือเพียงสองชิ้นได้ คำถามที่อยู่ในใจทุกคนก็คือ แล้วเราใช้กระเบื้องรูปเรขาคณิตแบบเดียวมาปูแบบไม่เป็นคาบได้ไหม

ฟังดูเหมือนจะเป็นไปไม่ได้เลยเนอะ จะเป็นไปได้ยังไง ใช้กระเบื้องแบบเดียว ปูให้เต็มพื้นที่แบบไม่มีช่องว่าง แต่ลายไม่ซ้ำกันเลย นักคณิตศาสตร์จึงเปรียบแผ่นกระเบื้องที่มีคุณสมบัติแบบนี้ว่ากระเบื้องศักดิ์สิทธิ์ และเรียกรูปเรขาคณิตที่ยังไม่มีใครหาเจอนี้ว่า ไอน์สไตน์ (Einstein)

คำว่าไอน์สไตน์ในที่นี้ไม่ได้หมายถึงชื่อของนักฟิสิกส์ผู้โด่งดังอย่างคุณอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ แต่มาจากคำในภาษาเยอรมันที่แปลว่า ‘หินก้อนเดียว’ หรือรูปทรงเพียงแบบเดียวนั่นเอง ซึ่งถ้านำมาปูได้แบบไม่มีการซ้ำ มันก็จะกลายเป็นรูปทรงศักดิ์สิทธิ์ของนักคณิตศาสตร์

แต่เมื่อเวลาผ่านไปนานหลายปีก็ยังไม่มีใครค้นพบรูปทรงที่เป็นไอน์สไตน์ ทำให้หลายคนคาดว่าอาจไม่มีอยู่จริง อารมณ์เหมือน One Piece นั่นแหละฮะ

กระทั่งในช่วงต้นปี 2023 นักคณิตศาสตร์สมัครเล่นชื่อ คุณเดวิด สมิธ (David Smith) ได้สร้างความตื่นเต้นให้กับวงการคณิตศาสตร์ ด้วยการค้นพบไอน์สไตน์ผ่านรูปที่เขาเรียกว่า ‘the hat’ เพราะมันมีรูปร่างคล้ายหมวก

คุณสมิธอ้างว่า the hat เป็นรูปทรง 13 เหลี่ยมที่นำมาปูผนังแบบไม่เป็นคาบได้ด้วยเพียงรูปทรงนี้และรูปที่เกิดจากการสะท้อนของมัน ซึ่งการค้นพบนี้สร้างความฮือฮาอย่างมากในแวดวงคณิตศาสตร์

หลังจากใช้เวลาตรวจสอบความถูกต้องอยู่ปีกว่า the hat ก็ได้รับการตีพิมพ์ในวารสารวิชาการที่ได้รับการยอมรับ ซึ่งแปลว่ามันผ่านการตรวจสอบอย่างถี่ถ้วนแล้วว่าบทพิสูจน์นั้นถูกต้อง และ the hat สามารถปูแบบไม่เป็นคาบได้จริง

การสร้างลวดลายบนผนังอาจดูเป็นเรื่องปกติที่เราพบเห็นกันอยู่ทุกวัน แต่เรากลับไม่เคยตั้งใจมองมัน หยุดคิด หรือสงสัยถึงเบื้องหลังของมันเลยจริงไหมฮะ ทั้งที่จริงแล้วมันไม่ใช่แค่ความสวยงามที่เกิดขึ้นโดยบังเอิญ แต่เต็มไปด้วยคณิตศาสตร์และการออกแบบที่นำไปประยุกต์ใช้ในด้านต่างๆ ได้อีกเยอะแยะเลย

เพราะฉะนั้น ครั้งหน้าที่คุณมองไปที่กระเบื้องหรือพื้นผิวที่มีลวดลายซ้ำๆ ลองสังเกตมันอย่างตั้งใจ เผื่อคุณจะค้นพบอะไรที่ยิ่งใหญ่ทางคณิตศาสตร์ก็ได้

และเช่นเดิม ใครที่อยากสนับสนุนเพจเว็บไซต์ของเรา ให้ผลิตคอนเทนต์คณิตศาสตร์แบบนี้ต่อไป ก็สามารถสมัครเป็นสมาชิกรายเดือนได้โดยกดปุ่ม 'สมัครสมาชิก' ได้เลยนะฮะ

แหล่งอ้างอิง
https://www.quantamagazine.org/never-repeating-tiles-can-safeguard-quantum-information-20240223/
https://www.newscientist.com/article/2365363-mathematicians-discover-shape-that-can-tile-a-wall-and-never-repeat/
https://plus.maths.org/tip-hat-celebrating-aperiodic-monotile
https://arxiv.org/abs/2303.10798