เบาะแสที่เกิดขึ้น เมื่อหมาป่าหากันไม่เจอ

เรื่องมีอยู่ว่า เมื่อเช้าผมนั่งดูรายการ WEREWOLF คืนหอนหลอนหมาป่า EP.52 ของช่องเทพลีลา ซึ่งรอบนั้นดันมีหมาป่าสองตัว ดังนั้นในตอนต้นเกม โฮสจึงต้องเรียกให้หมาป่าสองตัวนี้ลืมตามามองหน้ากัน จะได้รู้ว่าใครเป็นหมาป่าด้วยกัน

ปัญหาคือ หมาป่าสองตัวใช้เวลามองหน้ากันนานมากจนผิดวิสัย จึงมีคนตั้งข้อสังเกตว่า หมาป่าสองตัวนี้อาจจะนั่งอยู่ในระนาบเดียวกัน จนทำให้หากันนานหรือเปล่า

ซึ่งก็เป็นจริงตามนั้น เพราะดูจากตำแหน่งที่นั่งในภาพด้านบนจะเห็นว่าหมาป่าทั้งสองตัวซึ่งคือคุณเหว่งที่นั่งอยู่ตำแหน่ง D และคุณม๊าเดี่ยวที่ตำแหน่ง E นั้นนั่งอยู่ในระนาบเดียวกันจริง ๆ ด้วย

ดูจบแล้วผมก็คิดว่า เออ จริงแฮะ ระยะเวลาที่หมาป่าใช้มองหากันนี่อาจจะบอกอะไรเราได้มากกว่าที่คิดเลยนี่นา พอถึงที่ทำงานผมก็หยิบดินสอกับกระดาษขึ้นมา ทดๆๆๆๆ อะไรนิดหน่อย แล้วได้ออกมาเป็นบทความนี้ฮะ

โอเค ผมเริ่มต้นสมมติว่ามีผู้เล่นแค่สองคน คือ A และ B

ผมลากเส้นสีเขียวแทนทิศทางที่พวกเขาต้องหันมามองเพื่อสบตากัน และให้ลูกศรสีน้ำเงินแทนทิศทางที่ผู้เล่นแต่ละคนมองตามธรรมชาติ ซึ่งในที่นี้ผมจะสมมติว่าทุกคนมองเข้าโต้ะก็แล้วกัน

กำหนดให้ θₐᵦ แทนมุมที่ลูกศรของ A ทำกับแนวเส้นสีเขียว และ θᵦₐ แทนมุมที่ลูกศรของ B ทำกับแนวเส้นสีเขียว

ไอเดียแรกของผมคือ ยิ่งผลบวกของสองมุมนี้กว้างเท่าไร ก็แปลว่าสองคนนี้สบตากันยากเท่านั้น เพราะยิ่งมุมกว้าง แปลว่าต้องยิ่งหันหัวมาก การสบตาก็น่าจะเกิดขึ้นได้ยาก

แต่ไอเดียเหมือนจะไม่เวิร์ค เพราะถ้าเรามี C มานั่งข้าง ๆ B อีกคน การวัดด้วยผลบวกของมุมก็จะได้ว่า A และ B ก็จะสบตากันยากเท่ากับ A และ C เสมอนี่นา

ซึ่งผมรู้สึกว่ามันไม่ควรจะเป็นแบบนั้น ผมคิดว่า A และ B ควรจะสบตากันยากกว่า A กับ C สิ เพราะ B ต้องหันเยอะมากถึงจะมาเจอ A ได้ ดังนั้นการเอามุมมาบวกกันเลยตรง ๆ จึงน่าจะไม่ใช่คำตอบ

ก็เลยทำให้ผมนึกถึงเรื่องการ dot ของเวกเตอร์ขึ้นมา

คือปกติแล้วเนี่ย การ dot มันถูกใช้วัดความคล้ายกันของทิศทางอยู่แล้ว ปกติถ้าเรามีเวกเตอร์ u กับ v เราจะได้ว่า u·v = |u||v|cos θ ซึ่งถ้าเราสนใจเวกเตอร์หนึ่งหน่วยด้วย dot มันก็จะคือการหา cosine ของสองเวกเตอร์นั่นเอง

ถ้าเวกเตอร์หันทิศเดียวกัน มันจะ dot กันได้ 1 และถ้ามันหันไปทิศตรงข้ามกันเลย มันจะ dot ได้ -1

ดังนั้นถ้าผมอยากนิยามระดับความง่ายของการหมุน u ไปให้ซ้อนกับ v ผมก็ควรจะนิยามให้ค่านี้เป็น 1 เมื่อเวกเตอร์สองอันพุ่งเข้าหากัน และเป็น 0 เมื่อเวกเตอร์สองอันพุ่งออกไปในทิศตรงข้าม ผมจึงแปลงค่า dot ให้อยู่ในช่วง 0 ถึง 1 ด้วยสูตร

ซึ่งจะบอกเราว่า สองเวกเตอร์นี้หันไปทิศเดียวกันมากน้อยแค่ไหน

ดังนั้นถ้ากลับมาที่เรื่องการสบตา ความง่ายของการสบตาจึงควรจะเท่ากับระดับความง่ายที่ A จะหันจากทิศทางตามธรรมชาติของตัวเองไปหา B คูณกับ ระดับความง่ายที่ B จะหันจากทิศทางตามธรรมชาติของตัวเองไปหา A

หรือเขียนเป็นสูตรได้ว่า

โดยค่า E นี้มันจะบอกเราว่า A กับ B นั้นสบตากันง่ายแค่ไหน โดยที่เมื่อ E เท่ากับ 0 แปลว่าคู่นี้เขาสบตากันยากมาก และเมื่อ E เท่ากับ 1 แปลว่าสบตากันได้ทันทีเลยเมื่อลืมตา

สาเหตุที่ผมเลือกใช้ผลคูณแทนที่จะเป็นผลบวก นั่นเพราะผมมองว่าสองคนนี้ต้องช่วยกัน คือต้องมองอีกฝ่ายง่ายทั้งคู่ ผลรวมจึงจะออกมาเยอะ ถ้ามีใครสักคนมองยากจนค่าเป็น 0 มันก็ควรจะไปกดให้ผลรวมต่ำไปด้วยมาก ๆ

ผมลองเอาสูตรที่สร้างขึ้นมาไปลองทำเป็น simulation ดู จะพบว่าตำแหน่งที่คุณเหว่งและคุณม๊าเดี่ยวนั่นนั้นสบตากันยากมากจริง ๆ เมื่อเทียบกับคนอื่น แต่มันก็ยากเท่ากับคู่อื่น ๆ ที่นั่งข้างกันนั่นแหละ

แต่พอผมลองเอาค่าของแต่ละคนมาเฉลี่ยดู จะได้ว่าโดยเฉลี่ยแล้วคนที่นั่งตำแหน่งในแนวยาวจะสบตากับคนอื่นยากกว่าจริง ๆ ผมใส่ระดับความสบตาง่ายไว้ด้วยสีแดง

จะเห็นว่า A กับ B และ F กับ G นั้น แม้สีจะแดงเข้มเหมือนกัน แต่ก็มีความต่างกันอยู่นิดหน่อยและตำแหน่ง B และ G ซึ่งอยู่ขอบโต้ะจะเป็นตำแหน่งที่สบตากับคนอื่นได้ง่ายกว่านั่นเอง

ความจริงแล้วเราสามารถตั้งคำถามต่อยอดปัญหานี้ออกไปได้เยอะเลยฮะ

ในเชิง modeling สิ่งที่ผมยังไม่ได้ใส่เข้าไปในโมเดลนี้คือเรื่องการบังกัน เพราะจากสถานการณ์ในรูปจะเห็นว่า C กับ E นั้นจะสบตากันยากขึ้นไปอีก ไม่ใช่แค่เพราะนั่งหันหน้าทางเดียวกัน แต่เพราะมี D บังอยู่ด้วย หรืออาจมีปัจจัยเรื่องการเอียงตัวเข้าหากล้อง ในกรณีที่นั่งเล่นกันเพื่อถ่ายรายการ

หรือในเชิงเรขาคณิต เราอาจจะตั้งคำถามว่า ถ้ากำหนดจำนวนผู้เล่นมา กำหนดรูปร่างของโต้ะมา พวกเขาควรจะนั่งยังไงให้สบตากันได้มากที่สุด หรือสบตาง่ายอย่างเท่าเทียมกันที่สุด หรืออะไรต่อมิอะไรเยอะแยะไปหมด

คณิตศาสตร์ช่วยให้เรามองเห็นปรากฏการณ์ต่าง ๆ รอบตัวได้ชัดเจนขึ้น เข้าใจกลไกที่ซ้อนอยู่เบื้องหลัง และเปลี่ยนความสงสัยให้กลายเป็นคำตอบอย่างเป็นระบบ

ไม่ว่าความสงสัยนั้นจะเป็นปัญหาที่ยิ่งใหญ่ระดับจักรวาล หรือเรื่องเล็กน้อยที่เรามองเห็นอยู่ตรงหน้า เป็นปัญหาที่แสนจะก่อให้เกิดประโยชน์ต่อมวลมนุษยชาติ หรือเป็นแค่ความสงสัยเรื่อยเปื่อยของใครสักคนที่กำลังนั่งดูยูทูประหว่างกินข้าว

และเช่นเดิม ใครที่อยากสนับสนุนเพจเว็บไซต์ของเรา ให้ผลิตคอนเทนต์คณิตศาสตร์แบบนี้ต่อไป ก็สามารถสมัครเป็นสมาชิกรายเดือนได้โดยกดปุ่ม 'สมัครสมาชิก' ได้เลยนะฮะ