ภาคตัดกรวยมันยังไง ทำไมมันถึงสำคัญขนาดนั้น

หนึ่งในคำถามที่ได้ยินบ่อยเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ระดับมัธยมคือ เราจะเรียนเรื่องนั้น ๆ ไปทำไม และคำอธิบายก็มักจะเป็นตัวอย่างการเอาไปใช้งานในศาสตร์อื่น ๆ อย่างใน หนังสือไม่สอบรายวิชาคณิตศาสตร์ ของผมเองก็เช่นกัน

อย่างในบท เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ผมก็พยายามยกเอาปรากฏการณ์ในธรรมชาติหรือนวัตกรรมที่เส้นโค้งทั้ง 4 อย่างวงกลม วงรี พาราโบลา และไฮเพอร์โบลาเข้าไปมีส่วนเกี่ยวข้อง ไม่ว่าจะเป็นเทคโนโลยีดาวเทียม วงโคจรของดาวเคราะห์ จานรับสัญญาณและกล้องโทรทรรศน์ หรือระบบนำทางต่าง ๆ เยอะแยะไปหมด

แต่ในบทความนี้ ผมจะชวนคุยให้ลึกลงไปกว่านั้น ว่านอกจากการเอาสมการเส้นโค้งพวกนี้ไปใช้งานในโลกความเป็นจริงแล้ว บทเรียนเรื่องภาคตัดกรวยนั้นมีความสำคัญในฐานะเครื่องมือทางคณิตศาสตร์อย่างไร และทำไมมันถึงมีอะไรมากกว่าแค่การจัดรูปสมการไปมา

ลองนึกย้อนไปถึงเนื้อหาคณิตศาสตร์บทต่าง ๆ ก่อนจะมาถึงเรื่อง เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ดูดี ๆ นะฮะ เราจะพบว่าหัวข้อเหล่านั้นมันสามารถแบ่งออกได้เป็นสองหมวดใหญ่ ๆ นั่นคือพีชคณิต เริ่มจากการแก้สมการ การแยกตัวประกอบพหุนาม สมการกำลังสอง ไปจนถึงระบบสมการ กับอีกหมวดคือเรขาคณิต เริ่มจากพวกเส้น มุม รูปทรง เส้นขนาน จนมาถึงสมบัติต่าง ๆ ของรูปเรขาคณิต

พีชคณิตกับเรขาคณิตดูเหมือนจะเป็นสองโลกที่ไม่เคยบรรจบกัน มันถูกสอนแยกกันราวกับเป็นคนละโลก และอยู่ดี ๆ มันก็มาชนกันตู้ม ในบท เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

ถ้าว่ากันตามประวัติศาสตร์ ในคณิตศาสตร์กรีกโบราณ เรขาคณิตแบบของ Euclid และ Apollonius ก็ถูกพัฒนาขึ้นผ่านภาพ เส้น มุม และการสร้างทางเรขาคณิต โดยได้มีการศึกษาภาคตัดกรวยแล้ว ตอนนั้นภาคตัดกรวยเองก็ถูกศึกษาในฐานะวัตถุทางเรขาคณิตที่เกิดจากการตัดกรวยด้วยระนาบ และศึกษาด้วยเครื่องมือทางเรขาคณิต

แต่ต่อมาในศตวรรษที่ 17 นักคณิตศาสตร์อย่าง René Descartes และ Pierre de Fermat ได้พัฒนาวิธีศึกษาปัญหาเรขาคณิตผ่านพีชคณิตอย่างเป็นระบบ โดยเฉพาะในผลงาน La Géométrie ของ Descartes เมื่อปี 1637 ที่เสนอแนวคิดสำคัญว่า เราสามารถใช้ตัวเลขระบุตำแหน่งของจุด ใช้สมการแทนเส้นหรือเส้นโค้ง และเปลี่ยนเงื่อนไขทางเรขาคณิตให้กลายเป็นปัญหาทางพีชคณิตได้ ซึ่งกลายเป็นรากฐานสำคัญของวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์ที่เรารู้จักกันในทุกวันนี้

นึกถึงนิยามของพาราโบลา ในเชิงเรขาคณิต มันถูกนิยามว่าเป็นเซตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดคงที่หนึ่งจุด (focus) และเส้นตรงคงที่หนึ่งเส้น (directrix) เท่ากันทั้งหมด นิยามนี้เริ่มต้นจากการมองความสัมพันธ์ของระยะทางอย่างชัดเจน แต่เมื่อเราให้พิกัดแก่จุดเหล่านั้น เขียนสูตรระยะ และจัดรูปสมการ เราจะได้สมการพาราโบลา y² = 4ax โดย a เป็นค่าคงที่ที่ไม่เท่ากับศูนย์ที่เราคุ้นเคย

วงรีก็เช่นกัน ในเชิงเรขาคณิต วงรีคือเซตของจุดทั้งหมดที่ผลรวมของระยะจากจุดนั้นไปยังจุดคงที่สองจุดมีค่าคงที่ หากเรียกจุดคงที่สองจุดนั้นว่า F₁ และ F₂ และเรียกจุดบนวงรีว่า P เราสามารถเขียนนิยามนี้ได้ว่า PF₁ + PF₂ = 2a แต่เมื่อเราวางวงรีลงในระบบพิกัดอย่างเหมาะสม โดยให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและแกนเอกอยู่ในแนวนอน วัตถุเดียวกันนี้กลับเขียนได้เป็นสมการ x²/a² + y²/b² = 1 โดย a > b > 0

มันคือการเปลี่ยนรูปเป็นสมการ และเปลี่ยนสมการเป็นรูป กลับไปกลับมาได้อย่างอิสระ

คำถามคือ แล้วทำไมเราถึงต้องอยากเปลี่ยนสมการเป็นรูป หรือเปลี่ยนรูปเป็นสมการด้วยล่ะ ทำไมต้องมีสองหน้าตา และคำตอบก็ตรงไปตรงมามาก คือเพราะบางปัญหานั้นแก้ง่ายกว่าในหน้าตานึง ในขณะที่บางปัญหานั้นแก้ง่ายกว่าในอีกหน้าตานึงน่ะสิ

ยกตัวอย่างเช่น ถ้าเราสนใจสมบัติที่ว่า หากเราลากคอร์ดทุกเส้นที่ขนานกันในวงรี จุดกึ่งกลางของคอร์ดเหล่านั้นทั้งหมดจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

ปัญหานี้ดูเป็นปัญหาทางเรขาคณิตสุด ๆ แต่มันจะแก้ง่ายขึ้นมากเมื่อคุณลองมองมันผ่านสมการ และไปใช้เครื่องมือทางพีชคณิต

(ไม่ต้องอ่านบทพิสูจน์ข้างล่างนี้ก็ได้นะฮะ)

ทฤษฎีบท: จุดกึ่งกลางของคอร์ดทุกเส้นที่ขนานกัน จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันซึ่งผ่านจุดศูนย์กลางของวงรี

บทพิสูจน์: สำหรับวงรี x²/a² + y²/b² = 1 ให้คอร์ดมีสมการคือ y = mx + c โดยที่ m คือความชันที่คงที่ และ c สามารถเปลี่ยนได้ โดยพิจารณาเฉพาะเส้นตรงที่ตัดวงรีเป็นสองจุดที่แตกต่างกัน

แทนสมการเส้นตรงลงในสมการวงรี: x²/a² + (mx + c)²/b² = 1

จัดรูปจะได้สมการกำลังสองในตัวแปร x: (b² + a²m²)x² + 2a²mcx + a²(c² − b²) = 0

สมการนี้มีรากสองรากคือ x₁, x₂ ซึ่งเป็นพิกัด x ของจุดปลายทั้งสองของคอร์ด จากสูตรผลบวกของรากสมการกำลังสอง: x₁ + x₂ = −2a²mc/(b² + a²m²)

ดังนั้น หากจุดกึ่งกลางของคอร์ดคือ M = (xₘ, yₘ) จะได้ว่า

xₘ = (x₁ + x₂)/2 = −a²mc/(b² + a²m²)

และเพราะจุดปลายทั้งสองอยู่บนเส้นตรง y = mx + c ดังนั้นพิกัด y ของจุดกึ่งกลางจึงเป็น

yₘ = mxₘ + c = b²c/(b² + a²m²)

เมื่อกำจัดตัวแปร c ออกจากสองสมการ จะได้ว่า b²xₘ + a²myₘ = 0 ซึ่งเป็นสมการเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิด และที่สำคัญคือ ไม่ขึ้นกับ c เลย นั่นหมายความว่า ไม่ว่าเราจะเลื่อนคอร์ดไปอยู่ตรงไหน ตราบใดที่ความชัน m ยังเท่าเดิม จุดกึ่งกลางของคอร์ดก็จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันเสมอ ส่วนคอร์ดที่เป็นเส้นตั้ง ซึ่งไม่ได้อยู่ในรูป y = mx + c ก็มีจุดกึ่งกลางอยู่บนแกน x ทั้งหมดเช่นกัน จึงได้ผลลัพธ์ตามต้องการ ∎

สิ่งที่น่าสนใจในการพิสูจน์นี้ไม่ใช่การจัดรูปสมการที่ซับซ้อน แต่คือการเปลี่ยนวิธีมองปัญหา

คือเราเริ่มต้นจากคำถามเกี่ยวกับเส้นคอร์ดและจุดกึ่งกลาง ซึ่งเป็นวัตถุทางเรขาคณิต แต่เมื่อเปลี่ยนจุดตัดของเส้นตรงกับวงรีให้กลายเป็นรากของสมการกำลังสอง เรากลับสามารถใช้สูตรผลบวกของราก ซึ่งเดิมทีเรียนกันในวิชาพีชคณิต มาช่วยตอบคำถามทางเรขาคณิตได้

นี่เป็นตัวอย่างของการเปลี่ยนหน้าตา ที่ทำให้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างชัดเจน

แต่บางปัญหาก็แก้ด้วยเรขาคณิตง่ายกว่า เช่นถ้าผมอยากแสดงว่า หากแสงเดินทางออกจากโฟกัสหนึ่งของวงรีแล้วกระทบขอบวงรีซึ่งเป็นกระจกสะท้อน แสงนั้นจะสะท้อนไปยังอีกโฟกัสหนึ่งเสมอ

หากเริ่มต้นจากสมการวงรี เราอาจต้องหาอนุพันธ์เพื่อคำนวณความชันของเส้นสัมผัส แล้วใช้เวกเตอร์เพื่อหาทิศทางของแสงสะท้อน แต่ในเชิงเรขาคณิต เราสามารถเข้าใจสมบัตินี้ได้จากแนวคิดที่เรียบง่ายกว่ามาก นั่นคือ ระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุดคือเส้นตรง

(เหมือนเดิม ไม่ต้องอ่านบทพิสูจน์ข้างล่างนี้ก็ได้นะฮะ)

ทฤษฎีบท: เส้นสัมผัสของวงรี ณ จุด P ใด ๆ บนวงรี จะทำมุมแหลมกับเส้นตรงที่เชื่อม P ไปยังโฟกัสทั้งสองเท่ากัน

บทพิสูจน์: ให้ F₁, F₂ เป็นโฟกัสของวงรี และ P เป็นจุดใด ๆ บนวงรี โดยมีเส้นสัมผัส l ผ่านจุด P โดยจากนิยามของวงรี เรารู้ว่า PF₁ + PF₂ = 2a และเพราะเส้น l เป็นเส้นสัมผัสวงรี จุดอื่น ๆ บนเส้นนี้จึงอยู่ภายนอกวงรี ทำให้ผลรวมของระยะทางจากจุดเหล่านั้นไปยังโฟกัสทั้งสองมากกว่า 2a

นั่นหมายความว่า ในบรรดาเส้นทางทั้งหมดจาก F₁ ไปยัง F₂ ที่ต้องผ่านจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นสัมผัส l เส้นทางที่ผ่าน P มีระยะทางสั้นที่สุด

ทีนี้ ลองสะท้อนโฟกัส F₂ ข้ามเส้นสัมผัส l ไปเป็นจุด F₂′ สำหรับทุกจุด Q บนเส้นสัมผัส เราจะได้ QF₂ = QF₂′ ดังนั้น การหาเส้นทางสั้นที่สุดจาก F₁ ไปยัง F₂ โดยผ่านเส้นสัมผัส จึงเทียบเท่ากับการหาเส้นทางสั้นที่สุดจาก F₁ ไปยัง F₂′ โดยผ่านเส้นเดียวกัน

แต่เส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างสองจุดก็คือเส้นตรง จึงได้ว่า F₁, P, F₂′ ต้องอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และเนื่องจาก F₂′ เป็นภาพสะท้อนของ F₂ ข้ามเส้นสัมผัส มุมแหลมที่เส้น PF₁ ทำกับเส้นสัมผัสจึงเท่ากับมุมแหลมที่เส้น PF₂ ทำกับเส้นสัมผัส โดยรังสีที่มุ่งจาก F₁ มายัง P และรังสีที่มุ่งจาก P ไปยัง F₂ อยู่ในทิศทางที่สอดคล้องกับกฎการสะท้อนของแสง ∎

สังเกตว่าในการพิสูจน์นี้ เราไม่ได้ใช้สมการวงรีเลย สิ่งที่เราใช้มีเพียงนิยามของวงรี สมบัติของเส้นสัมผัส และการสะท้อนจุดข้ามเส้นตรง

ในตัวอย่างแรก เราใช้พีชคณิตค้นพบความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตที่มองเห็นได้ยากจากภาพเพียงอย่างเดียว ขณะที่ในตัวอย่างที่สอง เราใช้เรขาคณิตอธิบายสมบัติที่หากเริ่มจากสมการก็อาจต้องผ่านการคำนวณหลายขั้นตอน

ถ้าเรามองว่าคณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือสำหรับการเรียนวิชาอื่น ๆ ในระดับที่สูงขึ้น การเรียนรู้ภาคตัดกรวยผ่านสมการและสมบัติที่นำไปประยุกต์ใช้ก็น่าจะตอบโจทย์ได้ระดับหนึ่ง

แต่ถ้าเรามองว่าคณิตศาสตร์เป็นวิชาเพื่อฝึกคิดแก้ปัญหา การได้เห็นว่าปัญหาเดียวกันสามารถมองและแก้ได้จากหลายมุมมองก็เป็นเรื่องสำคัญมาก ๆ เพราะในคณิตศาสตร์ระดับสูง เราต้องแปลงปัญหาจากโลกหนึ่งให้กลายเป็นปัญหาในอีกโลกหนึ่ง เพื่อหยิบยืมเครื่องมือของโลกนั้นมาใช้แก้ปัญหาอยู่บ่อยครั้ง

และนี่อาจทำให้เราต้องกลับมาตั้งคำถามว่า การสอนเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยของเราในปัจจุบันนั้น สามารถตอบโจทย์นี้ได้ดีแค่ไหน

และเช่นเดิม ใครที่อยากสนับสนุนเพจเว็บไซต์ของเรา ให้ผลิตคอนเทนต์คณิตศาสตร์แบบนี้ต่อไป ก็สามารถสมัครเป็นสมาชิกรายเดือนได้โดยกดปุ่ม 'สมัครสมาชิก' ได้เลยนะฮะ

เอกสารอ้างอิง
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Descartes_La_Geometrie/
https://web.math.ucsb.edu/~manin/113/Geometry%20by%20Brannan%2C%20Esplen%2C%20Gray.pdf
https://absinthe.tuxfamily.net/openmathdep/geometry_analytic/Conic_Sections-Smith.pdf
https://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ802710.pdf
https://link.springer.com/article/10.1007/s10649-006-0400-z
https://www.nationalacademies.org/read/9822/chapter/1