แล้วทำไมเราถึงจะอยากวัดระยะทางให้มันโค้ง ๆ

สมัยผมเรียนวิชา Functional Analysis อาจารย์ให้การบ้านข้อนึง เป็นการพิสูจน์ Triangle Inequality ของ Minkowski Distance

สำหรับคนที่อ่านประโยคที่แล้วแล้วไม่เข้าใจอะไร ใจเย็นก่อน เดี๋ยวผมค่อย ๆ ปู

คือโดยปกติเนี่ย เวลาเราต้องการหาระยะทางจากจุด A(x1,y1) ไปยังจุด B(x2,y2) เราก็แค่ลากเส้นตรงระหว่างสองจุด แล้วหาความยาวของเส้นที่ลากได้

ซึ่งจากทฤษฎีบทพีทากอรัส เราจะได้สูตร

ซึ่งทุกอย่างก็แฮปปี้ดี ไม่มีปัญหาอะไร

จนกระทั่งพอเรียนลึกขึ้นไป อาจารย์ก็สอนว่า ที่จริงแล้วเราไม่จำเป็นต้องวัดระยะทางด้วยสูตรนี้ก็ได้ ความจริงแล้วเราสามารถนิยามระยะทางระหว่างจุด A กับ B ด้วยฟังก์ชัน d(A,B) แบบอื่นได้ ขอเพียงฟังก์ชันนั้นมีสมบัติสำคัญ 4 ข้อ

1. ระยะทางต้องไม่ติดลบ ซึ่งคือ d(A,B)≥0
2. ระยะทางจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อสองจุดนั้นเป็นจุดเดียวกัน ซึ่งคือ d(A,B)=0  ⟺  A=B
3. ระยะทางจาก A ไป B ต้องเท่ากับระยะทางจาก B ไป A ซึ่งคือ d(A,B)=d(B,A)
4. ระยะทางต้องสอดคล้องกับ Triangle Inequality หรืออสมการสามเหลี่ยม ที่บอกว่า d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)

ข้อสุดท้ายนั้นเข้าใจยากที่สุด แต่ถ้าให้พูดแบบบ้าน ๆ ก็คือ การเดินทางจาก A ไป C โดยผ่าน B นั้นต้องใช้ระยะทางมากกว่าหรือเท่ากับการเดินทางจาก A ไป C เลยโดยไม่แวะ

และฟังก์ชันใดก็ตามที่ผ่านเงื่อนไขทั้ง 4 ข้อนี้ เราจะเรียกว่า distance function หรือ metric ซึ่งสามารถใช้บอกระยะทางระหว่างจุดสองจุดในปริภูมินั้นได้

คำถามที่เกิดขึ้นโดยธรรมชาติก็คือ แล้วไอ้เจ้าวิธีการวัดระยะทางแบบลากเส้นตรงแล้วใช้พีทากอรัสหา ซึ่งมีชื่อเรียกเท่ ๆ ว่าการหาระยะทางแบบยูคลิด หรือ Euclidean Distance เนี่ย มันสอดคล้องกับเงื่อนไขทั้ง 4 ข้อของการเป็น Distance ที่ว่ามาไหม

คำตอบคือเราพิสูจน์ได้ว่ามันผ่าน และเราสามารถเรียกมันว่า Euclidean Distance ได้อย่างเต็มปาก

คำถามต่อมาจึงคือ แล้วนอกจาก Euclidean Distance ที่เราคุ้นเคยแล้ว มันยังมีวิธีการวัดระยะทางแบบอื่น ๆ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขทั้ง 4 ข้อนี้อีกหรือเปล่า

ซึ่งคำตอบคือมี มีเยอะด้วย และหนึ่งในนั้นคือ

ที่มีชื่อว่าการวัดระยะทางแบบมินโควสกี หรือ Minkowski Distance ซึ่งถ้าดูดี ๆ จะเห็นว่า Minkowski Distance นั้นเป็นกรณีทั่วไปของ Euclidean Distance ด้วย เพราะถ้าเราแทน p=2 ลงไป เราก็จะได้

ซึ่งก็คือ Euclidean Distance เป๊ะ ๆ เลย

อีกกรณีเฉพาะที่โด่งดังคือเมื่อเราแทน p=1 ซึ่งจะได้

เราเรียกสิ่งนี้ว่าการวัดระยะทางแบบแมนฮัตตัน หรือ Manhattan Distance บางทีก็เรียกว่า Taxicab Distance โดยเหตุที่มันได้ชื่ออย่างนี้ก็เพราะว่ามันมีลักษณะเหมือนการวัดระยะทางตามแนวถนนของเมืองแมนฮัตตันที่แบ่งเป็นบล็อก ๆ ชัดเจน ถ้าคุณอยู่ตรงหัวมุมหนึ่งแล้วอยากไปอีกหัวมุมหนึ่ง คุณขับรถทะลุตึกเป็นเส้นตรงไม่ได้ แต่ต้องวิ่งไปตามถนนในแนวตั้งกับแนวนอนแทน

ถ้าลองวาดภาพแทนรูปแบบการเดินทางที่ Minkowski Distance ที่ค่า p ต่าง ๆ กำลังประมาณ จะเห็นว่าเมื่อ p อยู่ระหว่าง 1 กับ 2 รูปแบบที่ได้ก็อยู่กึ่งกลางระหว่าง Manhattan Distance กับ Euclidean Distance ดังภาพข้างล่าง

และการพิสูจน์ Triangle Inequality ของสูตรของ Minkowski ซึ่งเป็นส่วนนึงของการพิสูจน์ว่ามันเป็น Distance Function จริง ๆ นั่นแหละฮะ คือการบ้านข้อที่ผมว่า

ในการพิสูจน์นั้น เราต้องใช้อสมการที่เรียกว่า Hölder’s inequality เพื่อเอาไปพิสูจน์ Minkowski inequality ซึ่งก็คือ Triangle Inequality ของ Lp norm ซึ่งใช่ มันยากมากสำหรับผมตอนนั้น (ตอนนี้ก็น่าจะยังยาก) คือมันนามธรรมสุด ๆ แถมยังนึกภาพอะไรก็ไม่ออกสักอย่าง

คำถามที่คาอยู่ในใจผมมาตลอดคือ แล้วทำไมเราถึงจะอยากวัดระยะทางให้มันโค้ง ๆ กันนะ ในเมื่อระยะทางจากจุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่งก็ลากเส้นตรงแล้ววัดไปเลยไม่ได้หรือ วัดตรง ๆ มันก็ดีอยู่แล้วนี่นา

เวลาผ่านไปนาน แต่ความสงสัยนี้ก็ยังอยู่ในใจผม จนกระทั่งผมได้ไปเจองานวิจัยที่เอา Minkowski Distance ไปใช้ประมาณระยะทางในโลกจริง ๆ และพวกเขาไม่ได้เอาไปใช้วัดอะไรที่ซับซ้อนเลย พวกเขาเอาไปใช้วัดระยะทางระหว่างสองจุดบนแผนที่ธรรมดา ๆ นี่แหละ เพียงแต่สิ่งที่พวกเขาสนใจไม่ใช่ระยะห่างแบบเส้นตรง แต่เป็นระยะทางและการเดินทางตามโครงข่ายถนน

คุณต้องเข้าใจก่อนว่า ระยะทางบนถนนนั้นไม่เท่ากับระยะห่างระหว่างสองจุด

ลองดูภาพข้างล่างนี้ จะเห็นว่าระยะทางที่เราขับรถจากเมืองหนึ่งไปอีกเมืองหนึ่งนั้นไม่เท่ากับการลากเส้นตรงระหว่างสองเมือง เพราะเราไม่สามารถขับทะลุตึก ข้ามแม่น้ำ หรือวิ่งตัดผ่านพื้นที่ทุกอย่างตามใจชอบได้

โดยทั่วไป ระยะทางตามแนวถนนจึงยาวกว่าหรืออย่างน้อยก็ไม่สั้นกว่าระยะทางเส้นตรง

วิธีหาระยะทางตามแนวถนนที่ง่ายที่สุดในชีวิตจริงก็คือกดแอปแผนที่ แล้วให้มันคำนวณมาเลยว่าจากจุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่งต้องขับรถไกลเท่าไร แน่นอนว่าค่าที่ได้นั้นแม่นยำกว่าการใช้สูตรง่าย ๆ มาก

แต่ในงานบางประเภท เราไม่ได้อยากหาระยะทางแค่ครั้งสองครั้ง เราต้องคำนวณความสัมพันธ์ของตำแหน่งเป็นร้อย เป็นพัน หรือเป็นหมื่นจุดพร้อมกัน หรืออาจต้องการสูตรเดียวที่ใช้อธิบายลักษณะการเดินทางโดยรวมของพื้นที่ เพื่อเอาไปใช้ต่อในแบบจำลองทางสถิติ

ลองนึกภาพง่าย ๆ ว่า ถ้าผมเปิดร้านพิซซ่าแล้วบอกว่า “ส่งฟรีในระยะห้ากิโลเมตร” เราจะระบายสีเพื่อกำหนดโซนส่งฟรีลงบนแผนที่ยังไง

มันจะไม่ยากเลยถ้าร้านพิซซ่าอยู่กลางทุ่งหญ้ากว้างใหญ่ เราก็แค่กางวงเวียนรัศมีห้ากิโลเมตร ปักจุดศูนย์กลางไว้ที่ร้าน แล้วลากเป็นวงกลมรอบ ๆ แต่พอร้านพิซซ่าตั้งอยู่กลางเมือง การสร้างวงกลมรัศมีห้ากิโลเมตรโดยใช้ Euclidean Distance จะทำให้บ้านบางหลังที่อยู่ห่างจากร้านเป็นเส้นตรงไม่เกินห้ากิโลเมตร จริง ๆ แล้วต้องขับรถอ้อมไปมากกว่านั้น

เราจะให้โปรแกรมไล่ถามระบบเส้นทางถนนทีละบ้านว่าบ้านไหนเกินห้ากิโลเมตรบ้างก็ทำได้ แต่มันเป็นปัญหาคนละแบบกับ การมีสูตรง่าย ๆ สูตรเดียว ที่ใช้ประมาณรูปแบบการเดินทางของพื้นที่โดยรวม

ตรงนี้เองที่ Minkowski Distance เริ่มเข้ามามีบทบาท

งานวิจัยที่ผมว่านั้นชื่อ Comparison of distance measures in spatial analytical modeling for health service planning โดย Rizwan Shahid และคณะ กับ Road distance and travel time for an improved house price Kriging predictor โดย Henry Crosby และคณะ

แม้ว่างานสองชิ้นนี้จะมีเป้าหมายปลายทางคนละเรื่องกัน ชิ้นแรกศึกษาเรื่องการเข้าถึงบริการสวนหัวใจและหลอดเลือด โดยต้องการประมาณระยะทางและเวลาเดินทางจากที่อยู่อาศัยของผู้ป่วยไปยังโรงพยาบาล ส่วนอีกชิ้นต้องการนำระยะทางตามถนนและเวลาเดินทางมาใช้ในการสร้างแบบจำลองราคาบ้าน แต่ปัญหาที่ทั้งสองงานมีร่วมกันก็คือ พวกเขาต้องการแบบจำลองระยะทางหรือการเดินทางบนโครงข่ายถนน ซึ่ง Euclidean Distance เพียงอย่างเดียวอธิบายได้ไม่ดีนัก

ไอเดียของพวกเขาคือ พวกเขามองว่า ระยะทางตามแนวถนนนั้นโดยทั่วไปควรมีค่ามากกว่าระยะห่างแบบเส้นตรง ส่วนจะมากกว่าแค่ไหนนั้นขึ้นอยู่กับลักษณะของโครงข่ายถนนและตำแหน่งต้นทาง–ปลายทาง ดังนั้นแทนที่จะใช้ Euclidean Distance เพียงอย่างเดียว พวกเขาจึงลองใช้ Minkowski Distance แล้วดูว่าค่า p ใดให้การประมาณระยะทางตามถนนในข้อมูลนั้นได้ดีที่สุด

ในงานของ Shahid และคณะ นักวิจัยเอาระยะทางจริงบนถนนในเมือง Calgary มาเทียบกับ Minkowski Distance หลาย ๆ ค่า โดยลองปรับ p ตั้งแต่ 1 ถึง 2 และผลที่ได้คือ ถ้าต้องการประมาณระยะทางบนถนน ค่าเหมาะสมอยู่ที่ประมาณ p=1.54

พูดง่าย ๆ ก็คือโครงสร้างการเดินทางในเมืองนั้นไม่ได้เหมือนการลากเส้นตรงเสียทีเดียว และก็ไม่ได้เป็นตารางแบบแมนฮัตตันเต็มรูปแบบ แต่มันอยู่ตรงกลางระหว่างสองอย่างนี้

กลายเป็นว่าพารามิเตอร์ p นั้นเริ่มมีความหมายขึ้นมาแล้ว คือถ้า p มีค่าใกล้ 2 เมืองนั้นก็มีแนวโน้มว่าการเดินทางจริงจะใกล้เคียงกับการลากเส้นตรงจากจุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่งมากกว่า แต่ถ้า p ลดเข้าใกล้ 1 ก็แปลว่าเส้นทางจริงถูกบังคับด้วยแนวถนนมากขึ้น จนมีลักษณะคล้ายการเดินอ้อมตามบล็อกแบบที่แมนฮัตตัน

แต่ต้องระวังนิดหนึ่งว่าเราไม่ควรตีความ p ว่าเป็นระดับความซับซ้อนของผังเมืองตรง ๆ เพราะมันยังขึ้นอยู่กับข้อมูล จุดต้นทาง–ปลายทาง โครงข่ายถนน และสิ่งที่เรากำลังพยายามประมาณด้วย ควรมองว่ามันเป็นพารามิเตอร์ของแบบจำลอง มากกว่าจะเป็นดัชนีสากลที่บอกว่าเมืองไหนซับซ้อนกว่าเมืองไหน

เวลามีคนชวนให้ไปบรรยายให้กับนักศึกษาสาขาคณิตศาสตร์ที่ไหน ผมมักจะยกเรื่อง Minkowski Distance นี้ขึ้นมาเล่าเสมอ ในฐานะของตัวอย่างของของที่ฟังดูนามธรรมและจับต้องไม่ได้สุด ๆ ในตอนแรก แต่กลับมาการเอามาใช้ที่ใกล้ตัวอย่างน่าเหลือเชื่อ

ตอนนั่งเรียน Functional Analysis เราอาจเห็นแค่สูตรขยุกขยุย

แล้วก็ถูกสอนให้พิสูจน์ว่าสิ่งนี้มีสมบัติต่าง ๆ ตามต้องการ โดยยังไม่ได้สนใจว่ามันมีความหมายอะไรในโลกความเป็นจริง จนทำให้เผลอคิดไปว่ามันก็เป็นเรื่องนามธรรมไร้สาระ หรือ abstract nonsense อย่างที่คณิตศาสตร์ชั้นสูงมักจะถูกมอง

แต่บางทีปัญหาอาจไม่ได้อยู่ที่คณิตศาสตร์พวกนี้ไร้ความหมาย แค่มันเกิดขึ้นก่อนที่เราจะได้เจอกับปัญหาที่ทำให้เราเห็นความหมายของมันเท่านั้นเอง

สิ่งที่เราเคยคิดว่าเป็นแค่สูตรประหลาด ๆ ที่แสนจะนามธรรมบนกระดาน วันหนึ่งอาจกลับกลายเป็นภาษาที่พอดีที่สุดสำหรับอธิบายเรื่องธรรมดามาก ๆ อย่างการขับรถจากจุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่งในเมืองเฉยเลย

และเช่นเดิม ใครที่อยากสนับสนุนเพจเว็บไซต์ของเรา ให้ผลิตคอนเทนต์คณิตศาสตร์แบบนี้ต่อไป ก็สามารถสมัครเป็นสมาชิกรายเดือนได้โดยกดปุ่ม 'สมัครสมาชิก' ได้เลยนะฮะ

เอกสารอ้างอิง
https://planetmath.org/proofofminkowskiinequality
https://planetmath.org/proofofholderinequality
https://link.springer.com/article/10.1186/1472-6963-9-200
https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/10095020.2018.1503775
https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-981-15-2700-5_6
https://www.kdnuggets.com/2023/03/distance-metrics-euclidean-manhattan-minkowski-oh.html